一.引入:

若存在一个式子a^b ≡ c (mod p) (p ≡ 1000000007,且0<a,b,c<p)

   已知a,b,求c.

     这不就是快速幂嘛!

  已知a,c,求b.

    这就是我们需要研究的问题!用到了BSGS!

题目链接:poj 2417 bsgs

二.概念

BSGS:

又名大步小步算法.具体的我也不清楚啦~

那么发明来做什么事情呢?

如上所述:

  就是用来求解a^x ≡ b (mod p)这样的式子

    PS:已知a,b,p

        求最小x

三.做法

首先,我们将x用i*m-j来表示,其中我们的m=seil(sqrt(p)),(seil为向上取整)

然后我们用i*m-j代替掉x,所以原式就变成了这个样子

        a^(i * m-j) ≡ b (mod p)

又因为a^(i * m-j)  =>  a^(i * m)/a^j

所以原式又变了模样:

        a^(i * m)/a^j ≡ b (mod p)

又因为在"≡"(同余号)的两侧同时乘以一个相同的数依旧是成立的,如果不明白可以手动模拟一下,

给出个栗子~

  3 ≡ 10 (mod 7),当两边同乘以5时式子变成: 15 ≡ 50 (mod 7)

  因为15%7==1&&50%7==1,所以原式依旧成立

所以将式子两边同时乘以a^j

那么式子就又发生了改变:

        a^(i * m) ≡ b * a^j (mod p)

    = (a^m)^i ≡ b * a^j (mod p)

所以问题就简单多了!

因为a^m是常数,b是常数,p也是常数,所以只有 i 跟 j 是未知的,暴力枚举!

但是有一点是我们不能够忘记的:

m的取值范围:1 —— p(p是当b==0时),所以

首先将 j 从1 到 p-1 进行枚举一遍,求出b * a^j 的值丢到hash(大佬是用map做的)里面咯(讲真hash不会用...怪我咯?)

  思路是这样的:(其实就是hash啦~)

        (b*a^j)%p(如果p太小换成另外一个比较大的质数)作为下标,里面存着当前计算出来的数,以及当前的 j (可以用vector~)

然后,枚举 j ,我们大可以设a^m==c

将 i 从 1 到p-1枚举一遍,如果求出的数在hash里面找到了,则说明当前的数就是 i (能够成立的) 最小值,跳出循环,用当前的i,以及记录下来的 j 计算对应的 i 求出 x

则x就是最小的解

C++代码实现:

(map方法:)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath> using namespace std;
typedef long long LL; LL a,b,c;
map<LL,LL> mp; LL qsm(LL m)
{
LL n = a; if(m == ) return ; LL t = qsm(m/); t = 1LL*t*t%c;
if(m&) t = 1LL*t*n%c; return t;
} int main()
{
//a^im=b*a^j(mod c)
while (scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF)
{
mp.clear(); //清空
if (a%c==) //判断a,c 是否互质,因为c 是质数,所以直接判断是否整除即可
{
printf("no solution\n");
continue;
}
LL m=ceil(sqrt(c));
LL ans;
for (LL j=; j<=m; j++)
{
if (j==)
{
//当j=0时,a^j=1, b*a^j=b
ans=b%c;
mp[ans]=j;
continue;
}
ans=(ans*a)%c;
//括号里的ans指a^(j-1)*b,(a^(j-1)*b)*a=(a^j)*b
mp[ans]=j;//在((a^j)*b)%c的位置记录下j
}
LL t=qsm(m);//t=a^m
ans=;
bool p=false;
for (LL i=; i<=m; i++)
{
ans=(ans*t)%c;//括号里的ans指的是((a^m)^(i-1))*(a^m)=(a^m)^i=a^(im)
if (mp[ans])
{
LL t=i*m-mp[ans];//t=x,因为我们设的x=i*m-j
printf("%lld\n",t);
p=true;
break;
}
}
if (!p)
printf("no solution\n");
}
}

End.

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