【CF598 Div3 F】Equalizing Two Strings

• 一道通篇结论的傻逼题，被 lh 随手秒了
• 别告诉我你不会 Div3 的题，你肯定在 fake
• 没看过题解，以下做法纯属口胡，应该没问题

Description

　　https://www.luogu.org/problem/CF1256F

Solution

　　首先，若两个字符串的字符集不相同，答案必定是 no。

　　由于 \(L\) 随便选取，我们又只需要判断 yes 或 no，不难发现任何 \(L\gt 2\) 的操作都可以拆成若干个 \(L=2\) 的操作。
　　故当所有操作的 \(L\) 为 \(2\) 时（即每次交换相邻 \(2\) 位），若存在合法方案，则原问题存在合法方案（yes）；否则原问题不存在合法方案（no）。
　　首先，如果两个串中任意一个存在 \(2\) 个相同字符，则答案必定是 yes。因为你可以把这个串的这 \(2\) 个相同字符移到一起，然后在以后的每次操作中，对于这个串交换这两个字符，对于另一个串交换某 \(2\) 个相邻位，把另一个串逐步变成这个串。由于两串字符集相同，另一个串最终一定可以变成这个串。

　　下面考虑两个串的串内 都不存在相同字符的情况。
　　可以用类似的做法，一直交换第一个串的前 \(2\) 位，每次交换第二个串的某 \(2\) 个相邻位，把第二个串逐步变成第一个串。
　　显然最后两个串要么相等，要么前 \(2\) 位相反。前一种情况的答案是 yes，后一种情况的答案是 no。
　　即我们只需要判断第二个串变成第一个串 用了奇数次还是偶数次操作。
　　我们发现没法求用了多少次操作，但我们可以给两个串同时加、减若干次操作，使其变得容易计算。
　　由于两个串的串内 所有字符各不相同，我们可以让它们都变成上升序列，判断两个串各自变成上升序列的操作次数 奇偶性是否相同即可。（显然各自的操作次数是唯一的）
　　为什么可以等价转化成这样呢？

　　不难发现，由于两个串字符集相同，且每个串内所有字符各不相同，所以两个串各自把所有字符从小到大排序后 得到的串相同。
　　把两个串都变成升序后，我们可以对两个串分别后接相同次交换操作，使它们都变成原来的第一个串。
　　这些后接的交换操作 可能会与之前的某些交换操作相反，比如之前交换了一次第 \(3,4\) 位，现在又交换了一次第 \(3,4\) 位。这两次操作显然可以抵消，因为一个操作序列中，任意两次交换操作 都可以交换（可以自己验证一下），我们可以把这两次操作交换到相邻位置，此时这两个相邻相反操作就显然可以抵消了。
　　抵消完后，第一个串所有操作都被抵消了（因为你把第一个串变成升序后又变回去了），第二个串剩余的操作就是其原串变成第一个串所需的次数。
　　后接交换操作 不会影响两个串的操作次数的奇偶关系，最后第一个串的操作次数被抵消成了 \(0\)（偶数），若第二个串的操作次数为奇数，则答案为 no，因为你每次操作要顺带交换第一个串的相邻两位，但第一个串操作奇数次后不可能和原来一样；若第二个串的操作次数为偶数，则答案为 yes。
　　故，若两个串各自变成上升序列的操作次数 奇偶性相同，答案为 yes；否则答案为 no。

　　现在问题转化成了求两个串变成上升序列 需要多少次操作。
　　这又是一个经典的经验考察，结论是逆序对个数。
　　证明（本来我忘了，我现场花了点时间重新发明的）：一个序列不为升序时，必定存在两个相邻的逆序字符，而交换这两位会使逆序对数 \(-1\)（因为只有这两位字符的相对顺序变了，这两位与序列中其它位字符的相对顺序没变）。
　　于是直接求逆序对个数就行了。实际上此时串长不超过 \(26\)，怎么做都可以，多组数据的最坏时间是 \(O(26\sum n)\)……

　　口胡，所以没代码。