二叉堆的应用——查找长度为N数组中第M大数

看到这个题目首先想到是排序，那么时间复杂度自然就是O(NlgN)。那么使用二叉堆如何解决呢？

对于下面一个数组，共有12个元素，我们的目标就是找出第5大元素——12

首先建立一个具有M个元素的最小堆，那么堆顶是这M个元素的最小值，接下来遍历剩下的元素，如果一个元素小于堆顶元素则不做任何操作，如果大于堆顶元素，则替换该元素，并且调整最小堆。显然最后堆的M个元素是最大的M个元素，而它们中最小的正式堆顶元素。

实现代码

        Heap <Integer> h = new Heap<>();
        Integer [] i = {7,5,15,3,17,2,20,24,1,9,12,8};
        int  M = 5;
        for (int j = 0; j < M; j++)
            h.insert(i[j]);
 
        for (int j = M; j< i.length;j++)
        {
            if(i[j] > h.getFirst())
            {
             h.deleteFirst();
             h.insert(i[j]);
            }
        }
 
        System.out.println(h.getFirst());

Public void deleteFirst()和public Y getFirst()方法分别获取堆顶数据和删除堆顶数据。

    public void deleteFirst()
    {
        delete(getFirst());
    }
 
    public Y getFirst()
    {
        return data.get(0);
    }

其余代码可在博文二叉堆的介绍和Java实现查看。

建立堆时间复杂度为O(M)，遍历剩余数组的时间复杂度是O(N-M)，每次调整堆的时间复杂度是O(logM)。其中2和3是嵌套关系，1和2,3是并列关系，所以总的最坏时间复杂度是O((N-M)logM+M) 。当M远小于N的情况下，也可以近似地认为是O(NlogM)。值得一提的是，这并不是求解该题时间复杂度最优的方法，一种基于快速排序的方法可以将时间复杂度减低到线性，这个等我们讲到快排时有机会再来看。