NewtonPrincipia_物体的运动_求向心力

NewtonPrincipia_物体的运动_求向心力

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让我们看一下十七世纪的被苹果砸中的艾萨克，是怎样推导出向心力公式的

在现在的观点看来，其中涉及到的很多没有符号表示的微分量。
下面的内容只是叙述了推倒向心力公式的内容，其它的被略过。

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自然哲学的数学原理
第一卷：论物体的运动
第I部分：论用于此证明的最初比和最终比的方法

引理I：

所有的量，以及量的比在任何有限的时间总趋于零
在时间结束之前它们的它们彼此之间比任意的差更接近，最终相等。
解释：假设它们最终不想等，设最终的差为D
那么，它们就不能比给定的差D更为接近，与假设相反

引理VI

如果位置给定的任意弧ACB所对的弦AB，
且在某点A，它在连续的曲率空间，

被两个方向延伸的一条直线AD相切；
此后点A、B彼此靠近并重合，那么，角BAD，
它被包含在弦和切线之间，被减小至无穷并最终消失。
如果那个角不消失，弧ACB和切线AD所含的角等于一个A直线角，
所以曲率在点A不连续，与假设矛盾。

引理VII

在同样的假设下，弧、弦、切线彼此的最终比是等量之比。
当点B靠近点A时，总认为AB和AD延长到远处的点b和d，引bd平行于截段BD。
由引理VI，角dAb消失，所以相等。
因此总与[Ab、Ad和Acb]成比例的直线AB、AD，和居于它们中间的弧ACB消失
且它们最终具有等量之比，此即所证。

引理XI

在切点具有有限曲率的所有曲线中，切角的对边最终按照弧的对边的二次比

情形：

设AB为那条弧线，切线为AD，切角的对边BD垂直于切线，弧的对边为AB
作垂直于这个对边AB和切线AD的直线AG，BG交于G。
然后点D、B、G靠近点d、b、g，
设J为当点D、B最终到达A时直线BD、AG的交点，
显然GJ能小于任意指派的距离。
因为三角形ABD相似于三角形GAB，所以AB是BD与GA的等比中项，
因此，square(AB):square(Ab)=(AG:Ag)*(BD:bd)。
因为GJ能小于任意任意指派的距离，
所以AG:Ag能成为等量之比的差异小于任意给定的差异小于任意给定的差之比
因此，最终square(AB):square(Ab)与BD:bd的差异小于任意给定的差
根据引理I，square(AB)与square(Ab)之最终比与BD与bd的最终比相同。
即证。

第II部分：论求向心力
命题I，定理I

面积，它由在轨道上运动的物体往不动的力的中心所引的半径画出，
停留在不动的平面上，且与时间成比例

时间分为相等的段，且在第一时间段物体由于其固有的运动画出直线AB。
在第二个时间段，同一物体如果没有障碍，它将到达c点，
画出等于AB的线Bc，同一条直线上的A、B、c向中心引直线AS、BS、cS
画出的面积ASB、ASc相等。
然而，当物体到达B时，假设向心力以一次但有力的冲击，
致使物体由直线Bc倾斜并在直线BC上前进，引Cc与BS平行交BC与C，
则在第二个时间段完成，物体会在C被发现，与三角形ASB在相同的平面。
连接SC，因SB，Cc平行，面积SBC的等于面积SBc，因此也等于面积SAB
类似的论证，如果向心力相继作用在C、D、E等等，
使物体在各自的时间片段画出直线CD、DE、EF等等，它们在相同的平面。
且面积SBC、SCD、SDE、SEF彼此相等。
所以，在相等的时间，相等的面积在同一平面上被画出，
且通过复合，任意的面积在SADS、SAFS彼此之间，如同画出他们的时间
现在，三角形的数目无限增加且宽度减小至无穷，
且最终它们的周线ADF为曲线。
因此向心力：
由它物体持续从这条曲线的切线上被拉回，此作用从不间断；
且画出的任意面积SADF，SAFS总与所画的时间成比例，此即所证。

===系理2

如果AB和BC是同一个物体在无阻力空间中
在相等的时间里画出的相继的弧的弦，补足平行四边形ABCV，
则这条对角线BV当那些弧减少以至无穷所在的位置，
沿两个方向延伸，通过力的中心。

===系理3

如果弦AB、BC和DE、EF使物体在无阻力空间中
在相等的时间所画出的弧的弦，并补足平行四边形ABCV和DEFZ，
在B和E的力彼此之比，当那些弧减少至无穷时，
按照对角线BV和EZ的最终比。

===系理4

任意物体在没有阻力的空间中被拉离直线运动
并被弯折到曲线轨道的诸力相互之比，
如同在像等时间内所画出的弧矢之比。
当那些弧减小至无穷时，弧的矢汇集于力的中心，并平分弦。
这里的矢是系理3中所提到的对角线的一半。

命题IV，定理IV

诸物体以相等的运动画出不同的圆，向心力趋向于圆的中心；
且相互之间如同在同一时间内画出的弧的平方除以圆的半径。
由命题I的系理2可知这些力趋向于圆的中心；
由命题I的系理4它们彼此之间如同在极短的时间内所画出的弧的正矢。
由引理XI，如同那些弧所对应弦的平方除以圆的直径，
由引理VII，如同弧的平方除以圆的直径。
且所以，由于这些弧如同在任意的相等时间所画出的弧，
且直径如同它的半径，所以，
力如同在同一时间画出的任意弧的平方除以圆的半径。
此即所证。

===系理1

因为那些弧如同物体的速度，
向心力按照来速度的二次正比与半径的反比的复合比。

===系理2

又，因为循环时间按照半径的正比和速度的反比的复合比，
向心力按照来自半径的正比和循环时间的二次反比的复合比。

===系理3

因此，如果循环时间相等，则速度如同半径，向心力亦如同半径。反之亦然。

===系理4

且如果循环时间和速度都按照半径的二分之一次比；则向心力彼此相等；且反之亦然。

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根据系理1，可知道当速度之比按照半径的二分之一次比时，
有同样的向心力，这时计算出的循环时间
是半径的正比与速度的反比的复合比，
所以这时，循环时间按照半径的二分之一次比。

===系理5

如果循环时间如同半径，且所以速度相等；向心力与半径成反比，且反之亦然。

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。。。向心力在这里就讨论完毕了。。。

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kongdongyang

2014/10/5