【BZOJ】【1045/1465】【HAOI2008】糖果传递

思路题/神奇的转化……

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　　orz hzwer

　　或许这个思路可以从单行而非环形的递推中找到？（单行的时候，从左往右直接递推即可……

　　感觉好神奇>_<脑残患者想不出……

P.S.话说在$n\leq 10^6$的时候读入优化效果好明显……

题解：

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了 第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

……

对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

  我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离 之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

 /**************************************************************
     Problem: 1045
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:1356 ms
     Memory:8616 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1045
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;ch<''||ch>'';ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(;ch>=''&&ch<='';ch=getchar()) v=v*+ch-'';
     return r*v;
 }
 const int N=1e6+,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 int n,a[N],c[N],ave;
 LL sum;
 int main(){
     n=getint();
     F(i,,n){
         a[i]=getint();
         sum+=a[i];
     }
     ave=sum/n;
     F(i,,n) c[i]=c[i-]+a[i]-ave;
     sort(c+,c+n+);
     LL ans=;
     int mid=c[(n>>)+];
     F(i,,n) ans+=abs(c[i]-mid);
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }