题意:

给定n和k,求

1 ≤ n ≤ 109, 0 ≤ k ≤ 106

思路:

题目中给的提示是对于给定的k我们可以求出一个最高次为k+1的关于n的通项公式。

根据拉格郎日插值法,我们可以通过k+2个离散的点来确定这个通项。所以求出前k+2项,然后就可以确定公式。

拉格郎日差值法传送门:http://www.guokr.com/post/456777/

最后得出的公式是酱紫的:(公式来自卿学姐博客)

然后问题来了,有除法如何搞定模运算...这个就用到逆元的运算了,逆元的定义就是大家都学过的离散数学里边的那个定义,求解方法有两种,一种是根据扩展欧几里得,构造ax+by=1(mod某数),如果取模的某数是一个素数的话可以根据费马小定理a^(p-1)=1(mod某数),结合快速幂求解。

注意有j!=i的条件...所以要求的逆元数是两个,好好理解下这个式子可以用阶乘优化复杂度。

传送门:http://www.cnblogs.com/james47/p/3871782.html

坑点:

注意逆元的运算应该放到等式的前边。然后注意阶乘的正负。

代码:(基本是跟卿学姐一个模子刻出来的==

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. long long mod=(1e9)+;
  4. long long p[];
  5. long long fac[];
  6. long long quick_pow(long long a,long long b,long long m){
  7. long long tmp=;
  8. while(b){
  9. if(b&){
  10. tmp*=a;
  11. tmp%=m;
  12. }
  13. a*=a;
  14. a%=m;
  15. b>>=;
  16. }
  17. return tmp;
  18. }
  19. int main()
  20. {
  21. long long n,k;
  22. cin>>n>>k;
  23. for(int i=;i<=k+;i++){
  24. p[i]=(p[i-]+quick_pow(i,k,mod))%mod;
  25. }
  26. fac[]=;
  27. for(int i=;i<=;i++){
  28. fac[i]=fac[i-]*i;
  29. fac[i]%=mod;
  30. }
  31. if(n<=k+){
  32. cout << p[n] << endl;
  33. return ;
  34. }
  35. long long chang=;
  36. for(int i=;i<=k+;i++){
  37. chang*=n-i;
  38. chang%=mod;
  39. }
  40. long long ans=;
  41. for(int i=;i<=k+;i++){
  42. long long a=quick_pow(n-i,mod-,mod);
  43. long long b=quick_pow((fac[i-]*fac[k+-i])%mod,mod-,mod);
  44. if((k+-i)%)b=-b;
  45. ans =(ans + p[i]*chang%mod*b%mod*a)%mod;//这句一定要注意逆元运算先
  46. }
  47. cout << ans << endl;
  48. }

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