台球游戏的核心算法和AI(1)

前言:
　　08年的时候, 写过一个台球游戏, 用的是java, 不过代码真的是用传说中的神器notepad写的(你信吗? 其实是用GVIM写的, ^_^), 很多类都在同一java文件中编写. 可见当时的JAVA水平真的不咋地, 时过进迁, 还是一样的不咋地.
　　这边是当时的CSDN下载链接: java(台球游戏), 实现比较简单. 后来写过一个版本, 比这个要强大许多, 可惜源码丢失了.
　　效果展示入下图所示:
　　
　　本文想讲述下台球游戏中核心算法的实现, 以及游戏AI的设计技巧. 当然自己也有个小愿望, 希望能实现一个html5版的台球游戏.

基础物理知识:
　　• 摩擦阻力
　　其满足牛顿第二定律:
　　f = m * a
　　速度与加速度关系公式:
　　vt = v0 + a * t
　　地面摩擦力与运动物体的方向相反, 阻碍物体的向前运动.
　　• 动量守恒
　　假设物体A质量为m1, 速度为v1, 物体B质量为m2, 速度为v2, 碰撞后速度分别为v1', v2'.
　　则满足动量守恒定律:
　　m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2'
　　

　　• 碰撞类型和能量守恒定律
　　1). 完全弹性碰撞
　　动能没有损失, 则满足如下公式:
　　1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2
　　注: 前后物体的动能保持均衡, 没有其他能量的转化.
　　结合之前的动量守恒定律, 我们可以进一步得到:
　　v1' = [(m1-m2) * v1 + 2 * m2 * v2] / (m1 + m2)
　　v2' = [(m2-m1) * v2 + 2 * m1 * v1] / (m1 + m2)
　　2). 完全非弹性碰撞
　　则存在其他能量的转化, 动能不守恒.
　　且此时两物体粘连, 速度一致, 即v1'=v2', 此时动能损失最大.
　　3). 弹性碰撞
　　介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞两者之间. 动能有损失的.

物理模型:
　　台球游戏中, 最核心的就是其物理模型的抽象及其碰撞算法的执行过程了.
　　鉴于是2D版的台球游戏, 因此我们对物理模型做下简化, 球运动的方向必然穿越球的中心.
　　把每个台球抽象为圆(x, y, radius), 而台球桌边框抽象为线段((x1, y1), (x2, y2)).
　　• 碰撞检测
　　1). 检测球与球碰撞
　　我们假定球A(x1, y1, r), 球B(x2, y2, r). 则满足条件:
　　(x1 - x2) ^ 2 + (y1 - y2) ^ 2 <= (2*r) ^ 2
　　则发生碰撞, 否则没有发生碰撞
　　2). 检测球与球台边框碰撞
　　相对比较简单. 求球心到边框的垂直距离即可, 若小于等于则发生碰撞, 若大于则没有.
　　• 碰撞反应
　　1). 球与球的碰撞反应
　　
　　动量是向量, 其在正交的两个方向上, 互相守恒. 我们选取两球圆心的直线为x轴, 垂直于圆心直线的为y轴. 如上图所述.
　　x轴上满足动量守恒:
　　m1 * Vx + m2 * Ux = m1 * Vx' + m2 * Ux';
　　并假定两球碰撞是完全弹性碰撞, 两球质量相等m1=m2, 依据基础物理知识篇的结论.
　　Vx' = [(m1-m2) * Vx + 2 * m2 * Ux] / (m1 + m2) = Ux;
　　Ux' = [(m2-m1) * Ux + 2 * m1 * Vx] / (m1 + m2) = Vx;
　　在X轴方向, 两球交换速度, 而在Y轴方向, 两球分速度不变.
　　Vy' = Vy;
　　Uy' = Uy;
　　最终碰撞后的速度公式为:
　　V' = Vx' + Vy' = Ux + Vy;
　　U' = Ux' + Uy' = Vx + Uy;
　　2). 球与边框的碰撞反应
　　把台球边框视为质量无穷大, 则简单把运动的球, 其在垂直边框的分方向反向即可.
　　
　　假定碰撞碰撞平面为x轴
　　Vx' = Vx;
　　Vy' = -Vy;
　　最终速度公式为:
　　V' = Vx' + Vy' = Vx - Vy;

碰撞执行算法:
　　游戏的主循环往往遵循如下代码结构:

    while ( true ) {
        game.update(time_interval);
        game.render();
    }

　　这个时间间隔(time_interval), 由游戏的FPS来确定. 以24帧为例, 每40毫秒刷新一次.
　　对于台球本身而言, 若以该time_interval为更新周期, 使得运动的球体满足:
　　Vt = V0 + a * t
　　运行距离为:
　　S = V0 * t + 1/2 * a * t^2.
　　然后来检测球体是否发生了碰撞, 然后进行碰撞反应处理. 看似没有问题.
　　但是当球体初速度很快时, 在time_interval中有可能, 发生穿越现象.
　　如下图所展示的现象:
　　
　　紫色球在t2时刻, 和蓝球检测到碰撞, 但实际上, 在紫球在t1~t2之间的某时刻和蓝球发生了碰撞.
　　为了解决该问题, 在具体的算法中, 需要引入更细的时间分片slice, 该过程在具体的update中进行模拟.
　　整个台球场景的更新函数:

void update(time_interval) {

	while time_interval > 0:
		// 碰撞检测
		if detectionCollide(time_interval, least_time, ball_pairs):
			// 游戏更新least_time
			billiards.update(least_time)
			// 对碰撞的两球进行碰撞反应
			collideReaction(ball_pairs=>(ball, other))
			// time_interval 减少 least_time
			time_interval -= least_time
		else：
			// 游戏更新least_time
			billiards.update(time_interval)
			time_interval = 0

}

　　注: 碰撞反应, 按物理模型篇讲述的来.
　　而具体的碰撞检测算法为:

/*
	@brief
		在time_interval 时间内, 返回最先碰撞的球或台球边, 以及时间点
*/
bool detectionCollide(time_interval, least_time, ball_pairs) {

	res = false;
	least_time = time_interval;

	foreach ball in billiards:
		foreach otherBall in billiards:
			// 求出两球的距离
			S = distance(ball, otherBall)
			// 以某一球作为参考坐标系, 则令一球速度向量变为 U’=U-V
			// 在圆心的直线作为x轴
			Ux(relative) = Ux(other ball) - Vx(ball)
			// 	若该方向使得两球远离, 则直接忽略
			if Ux(relative) < 0：
				continue
			// 	某该方向使得两球接近, 则可求其碰撞的预期时间点
			A' = 2 * A;	// 加速度为原来的两倍

			// 取两者最小的时间点
			delta_time = min(time_interval, Ux(relative) / Ax’)
			// 预期距离 小于 两球距离，则在time_interval中不会发生碰撞
			if 1/2 * Ax’ * delta_time ^ 2 + Ux(relative) * delta_time < S - 2*r:
				continue

			// 解一元二次方程, 使用二分搜索逼近求解
			res_time <= slove(1/2 * Ax’ * x ^ 2 + Ux(relative) * x = S - 2 * r)

			if res_time < least_time:
				ball_pairs <= (ball, otherBall)
				least_time = res_time
				res = true

		foreach wall in billiards:
			S = distance(ball, wall)
			// 设垂直于平面的方向为x轴
			if Vx < 0:
				continue

			// 取两者最小的时间点
			delta_time = min(time_interval, Vx / Ax)
			// 预期距离 小于 两球距离，则在time_interval中不会发生碰撞
			if 1/2 * Ax * delta_time ^ 2 + Vx * delta_time < S - r:
				continue

			// 解一元二次方程, 使用二分搜索逼近求解
			res_time <= slove(1/2 * A * x ^ 2 + Vx * x = S - r)

			if res_time < least_time:
				ball_pairs <= (ball, walll)
				least_time = res_time
				res = true

	return res

}

　　注: 对于一元二次方程, 也可以借助分1000个细粒度时间片, 然后计算逼近求解.
　　台球模拟碰撞算法过程, 大致就是如上所述.
　　计算最复杂的时刻, 其实就是开球, 打散一堆球的时候.

总结:
　　本文参考了"NEHE的OPENGL中文教程 第30课 碰撞检测与模型运动". 当然实现台球游戏, 未必真的需要该算法, 很多开发者直接使用box2d就能完美并轻松的实现. 参考"使用 cocos2d-x Box2d 的实现". 后续的文章, 想讲述下台球游戏的AI如何设计和实现. 望一同努力.

写在最后：
　　如果你觉得这篇文章对你有帮助, 请小小打赏下. 其实我想试试, 看看写博客能否给自己带来一点小小的收益. 无论多少, 都是对楼主一种由衷的肯定.