题解 Wide Swap

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题目大意

给出一个长度为 \(n\) 的排列 \(a_{1,2,...,n}\) 以及常数 \(k\)，每次可以交换两个数 \(a_i,a_j\) 当且仅当 \(j-i\ge k \text{ and } |a_i-a_j|=1\) ，问最小能变成的最小字典序的 \(a\) 序列。

\(n\le 5\times 10^5\)

思路

首先很重要的一点是，我们肯定得把题目转换一下，不然 \(j-i\ge k\) 这个条件太难用了。我们其实可以设 \(p_i\) 表示元素 \(i\) 所在的位置，那么所求就等价于让 \(p_{1,2,...,n}\) 字典序最小，而交换的条件就等价于 \(|j-i|=1\text{ and } |p_i-p_j|\ge k\)。

然后又是很关键的一点，我们发现其实这个就很像冒泡排序，当 \(k=1\) 其实就是冒泡排序。我们跟随这个思路，可以发现的一点就是如果存在 \(j\not= i\text{ and } |p_i-p_j|<k\) 那么 \(i,j\) 之间的位置关系就不会改变。（位置关系指的是 \(i\) 在 \(j\) 前面还是后面）如果我们把这种关系抽象成一条边（可以看出这种关系具有传递性，与边相同），相当于求出一个字典序最小的\(\text{topo}\)序（可能这里跳跃比较大，仔细想一下就可以明白了，求 \(\text{topo}\) 序相当于确定不同块的顺序，但是这些块可以交织），具体的话可以用优先队列实现。

不过还有一个问题，连边的话如果直接暴力连的话数量实际上是 \(\Theta(n^2)\) 级别的，肯定会爆炸的，不过考虑到边的传递性，所以我们可以扫描线扫一下，从右往左扫对于点 \(i\) 在 \([i+1,n]\) 中找到绝对值之差 \(<k\) 的分别比它小、大且与它最相近的点连边，这样的话就可以保证正确性了。具体可以使用值域线段树实现。

时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\) 。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 500005

int n,k,cnt,sum,root,a[MAXN],ans[MAXN],minn[MAXN << 2],son[MAXN << 2][2];

void change (int &x,int l,int r,int pos,int d){
	if (!x) x = ++ cnt;
	if (l == r) return minn[x] = d,void ();
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (pos <= mid) change (son[x][0],l,mid,pos,d);
	else change (son[x][1],mid + 1,r,pos,d);
	minn[x] = min (minn[son[x][0]],minn[son[x][1]]);
} 

int query (int x,int l,int r,int tl,int tr){
	if (!x) return INF;
	if (l >= tl && r <= tr) return minn[x];
	int mid = (l + r) >> 1,res = INF;
	if (tr > mid) res = min (res,query (son[x][1],mid + 1,r,tl,tr));
	if (tl <= mid) res = min (res,query (son[x][0],l,mid,tl,tr));
	return res;
}

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int toop = 1,to[MAXN << 1],nxt[MAXN << 1],deg[MAXN],head[MAXN];
void Add_Edge (int u,int v){to[++ toop] = v,nxt[toop] = head[u],head[u] = toop;}

signed main(){
	read (n,k);memset (minn,0x3f,sizeof (minn));
	for (Int i = 1,x;i <= n;++ i) read (x),a[x] = i;
	for (Int i = n;i;-- i){
		int lr = query (root,1,n,a[i],min (n,a[i] + k - 1));
		if (lr != INF) Add_Edge (a[i],a[lr]),deg[a[lr]] ++;
		int rr = query (root,1,n,max (1,a[i] - k + 1),a[i]);
		if (rr != INF) Add_Edge (a[i],a[rr]),deg[a[rr]] ++;
		change (root,1,n,a[i],i);
	}
	priority_queue <int,vector <int>,greater<int> > q;
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) if (!deg[i]) q.push (i);
	while (!q.empty()){
		int u = q.top();q.pop ();ans[u] = ++ sum;
		for (Int i = head[u];i;i = nxt[i]) if (-- deg[to[i]] == 0) q.push (to[i]);
	}
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) write (ans[i]),putchar ('\n');
	return 0;
}