快速傅里叶变换 & 快速数论变换

[update 3.29.2017]

前言

2月10日初学，记得那时好像是正月十五放假那一天

当时写了手写版的笔记

过去近50天差不多忘光了，于是复习一下，具体请看手写版笔记

参考文献：picks miskcoo menci 阮一峰

Fast Fourier Transform

单位复数根

虚数复数

$i$，表示逆时针旋转90度

$a+bi$，对应复平面上的向量

复数加法 同向量

复数乘法 “模长相乘，幅角相加”，$(a+bi)*(c+di)=ac-bd+adi+bci$

共轭复数 实部相等，虚部互为相反数. 单位根的倒数等于共轭复数

欧拉公式 $e^{iu}=cos(u)+isin(u)$

单位复数根

n次单位复数根：满足$\omega^n=1$的复数$\omega, \omega_n^k = e^{\frac{2\pi i}{n}k}$

主n次单位根 $\omega_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}$

消去引理，折半引理，求和引理

$n$个$n$次单位复数根在乘法意义下形成一个群，与$(Z_n,+)$有相同的结构，因为$w(n,0)=w(n,n)=1\ \rightarrow\ w(n,j)*w(n,k)=w(n,(j+k) mod n)$

FFT

离散傅里叶变换DFT

对于多项式$A(x)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_jx^j$，代入n次单位复数根所得到的列向量就是a的离散傅里叶变换

快速傅里叶变换FFT

$O(nlogn)$计算离散傅里叶变换

使用分治的思想，按下标奇偶分类，$A_0(x)$是偶数项，$A_1(x)$是奇数项，则$A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2)$，根据折半引理仅有$\frac{n}{2}$次单位复数根组成

$k < \frac{n}{2},$

\[A(\omega_n^k)=A_0(\omega_\frac{n}{2}^k)+\omega_n^kA_1(\omega_\frac{n}{2}^k)\\
A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0(\omega_\frac{n}{2}^k)-\omega_n^kA_1(\omega_\frac{n}{2}^k)
\]

傅里叶逆变换

在单位复数根处插值

矩阵证明略

用$\omega_n^{-1}$代替$\omega_n$，计算结果每个元素除以$n$即可

实现

$\omega$可以预处理也可以递推，预处理精度更高

递归结束时每个元素所在的位置就是“二进制翻转”的位置，可以非递归的实现fft

加倍次数界，两个次数界为n的多项式相乘，次数界为2n-1，加倍到第一个大于等于的2的幂

注意:

我传入的参数是次数界n，最高次数n-1，数组中用0到n-1表示
取整用floor向下取整，类型转换是向0取整

Fast Number-Theoretic Transform

生成子群 & 原根

子群：

$群(S,\oplus),\ (S',\oplus),\ 满足S' \subset S，则(S',\oplus)是(S,\oplus)的子群$

拉格朗日定理:

$|S'| \mid |S|$

证明需要用到陪集，得到陪集大小等于子群大小，每个陪集要么不想交要么相等，所有陪集的并是集合S，那么显然成立。

生成子群

$a \in S$的生成子群$<a>=\{a^{(k)}:\ k\ge 1\}$，$a$是$<a>$的生成元

阶：

群$S$中$a$的阶是满足$a^r=e$的最小的r,符号$ord(a)$

$ord(a)=|<a>|$，显然成立

考虑群$Z_n^*=\{[a]_n \in Zn:gcd(a,n)=1\},\ |Z_n^*| = \phi(n)$

阶就是满足$a^{r} \equiv 1 \pmod n$的最小的$r,\ ord(a)=r$

原根

$g满足ord_n(g)=|Z_n^*|=\phi(n)$，对于质数$p$，也就是说$g^i \mod p, 0\le i <p$结果互不相同

模n有原根的充要条件 $n=2,4,p^e,2p^e$

离散对数

$g^t \equiv a \pmod n,\ ind_{n,g}(a)=t$

因为g是原根，所以$g^t$每$\phi(n)$是一个周期，可以取到$|Z_n^*|$的所有元素

对于n是质数时，就是得到$[1,n-1]$的所有数，就是$[0,n-2]$到$[1,n-1]$的映射

离散对数满足对数的相关性质，如$ind(ab)\equiv ind(a)+ind(b) \pmod {n-1}$

求原根

可以证明满足$g^{r} \equiv 1 \pmod p$的最小的r一定是$p-1$的约数

对于质数$p$，质因子分解$p-1$，若$g^{\frac{p-1}{p_i}} \neq 1 \pmod p$恒成立，g为p的原根

NTT

对于质数$p=qn+1,\ n=2^m$，原根$g$，则$g^{qn} \equiv 1 \pmod p$

将$g_n=g^{q} \pmod p$看做$w_n$的等价，满足$w_n$类似的性质，如：

$g_n^n \equiv 1 \pmod p,\ g_n^{\frac{n}{2}} \equiv -1 \pmod p$

这里的n(用N表示吧)可以比原来那个的n(乘法结果的长度扩展到2的幂次后的n)大，只要把$\frac{qN}{n}$看做q就行了

常见的$p=1004535809=479 \cdot 2^{21} + 1,\ g=3,\quad p=998244353= 2 * 17 * 2^{23} + 1,\ g=3 $

实现

$g^{qn}$就是$e^{2\pi i}$的等价，迭代到长度$l$时，$g_l=g^{\frac{p-1}{l}}$

或者$w_n=g_l=g_n^{\frac{n}{l}}=g^{\frac{p-1}{l}}$

***
这里放一个大整数相乘的模板
```cpp
//fft
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&cstruct meow{

double x, y;

meow(double a=0, double b=0):x(a), y(b){}

};

meow operator +(meow a, meow b) {return meow(a.x+b.x, a.y+b.y);}

meow operator -(meow a, meow b) {return meow(a.x-b.x, a.y-b.y);}

meow operator (meow a, meow b) {return meow(a.xb.x-a.yb.y, a.xb.y+a.y*b.x);}

meow conj(meow a) {return meow(a.x, -a.y);}

typedef meow cd;

struct FastFourierTransform {

int n, rev[N];

cd omega[N], omegaInv[N];

void ini(int lim) {

n=1; int k=0;

while(n<lim) n<<=1, k++;

for(int i=0; i<n; i++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(k-1));

	for(int k=0; k<n; k++) {
		omega[k] = cd(cos(2*PI/n*k), sin(2*PI/n*k));
		omegaInv[k] = conj(omega[k]);
	}
}
void fft(cd *a, cd *w) {
	for(int i=0; i<n; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	for(int l=2; l<=n; l<<=1) {
		int m=l>>1;
		for(cd *p=a; p!=a+n; p+=l)
			for(int k=0; k<m; k++) {
				cd t = w[n/l*k] * p[k+m];
				p[k+m]=p[k]-t;
				p[k]=p[k]+t;
			}
	}
}
void dft(cd *a, int flag) {
	if(flag==1) fft(a, omega);
	else {
		fft(a, omegaInv);
		for(int i=0; i<n; i++) a[i].x/=n;
	}
}
void mul(cd *a, cd *b, int m) {
	ini(m);
	dft(a, 1); dft(b, 1);
	for(int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*b[i];
	dft(a, -1);
}

}f;

int n1, n2, m, c[N];

cd a[N], b[N];

char s1[N], s2[N];

int main() {

freopen("in","r",stdin);

scanf("%s%s",s1,s2);

n1=strlen(s1); n2=strlen(s2);

for(int i=0; i<n1; i++) a[i].x = s1[n1-i-1]-'0';

for(int i=0; i<n2; i++) b[i].x = s2[n2-i-1]-'0';

m=n1+n2-1;

f.mul(a, b, m);

for(int i=0; i<m; i++) c[i]=floor(a[i].x+0.5);

for(int i=0; i<m; i++) c[i+1]+=c[i]/10, c[i]%=10;

if(c[m]) m++;

for(int i=m-1; i>=0; i--) printf("%d",c[i]);

}


```cpp
//ntt
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<18)+5, INF=1e9;
const double PI=acos(-1);
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
ll P=1004535809;
ll Pow(ll a, ll b,ll P) {
	ll ans=1;
	for(; b; b>>=1, a=a*a%P)
		if(b&1) ans=ans*a%P;
	return ans;
}
struct NumberTheoreticTransform {
	int n, rev[N];
	ll g;
	void ini(int lim) {
		g=3;
		n=1; int k=0;
		while(n<lim) n<<=1, k++;
		for(int i=0; i<n; i++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(k-1));
	}
	void dft(ll *a, int flag) {
		for(int i=0; i<n; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
		for(int l=2; l<=n; l<<=1) {
			int m=l>>1;
			ll wn = Pow(g, flag==1 ? (P-1)/l : P-1-(P-1)/l, P);
			for(ll *p=a; p!=a+n; p+=l) {
				ll w=1;
				for(int k=0; k<m; k++) {
					ll t = w * p[k+m]%P;
					p[k+m]=(p[k]-t+P)%P;
					p[k]=(p[k]+t)%P;
					w=w*wn%P;
				}
			}
		}
		if(flag==-1) {
			ll inv=Pow(n, P-2, P);
			for(int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*inv%P;
		}
	}
	void mul(ll *a, ll *b, int m) {
		ini(m);
		dft(a, 1); dft(b, 1);
		for(int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*b[i];
		dft(a, -1);
	}
}f;
int n1, n2, m, c[N];
ll a[N], b[N];
char s1[N], s2[N];
int main() {
	freopen("in","r",stdin);
	scanf("%s%s",s1,s2);
	n1=strlen(s1); n2=strlen(s2);
	for(int i=0; i<n1; i++) a[i] = s1[n1-i-1]-'0';
	for(int i=0; i<n2; i++) b[i] = s2[n2-i-1]-'0';
	m=n1+n2-1;
	f.mul(a, b, m);
	for(int i=0; i<m; i++) c[i]=a[i];
	for(int i=0; i<m; i++) c[i+1]+=c[i]/10, c[i]%=10;
	if(c[m]) m++;
	for(int i=m-1; i>=0; i--) printf("%d",c[i]);
}