51Nod 欢乐手速场1 C 开心的小Q[莫比乌斯函数]

开心的小Q

tangjz (命题人)

quailty (测试)

 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80

如果一个数字存在一个约数是完全平方数，那么小Q就认为这个数是有趣的。

小Q喜欢收集有趣的数字，每找到一个有趣的数，小Q就会变得很开心。

小Q发现12是有趣的，18也是有趣的，它们都是36的约数，而在36的约数中，还有3个数是有趣的，它们是4、9、36。

小Q很好奇，在a~b里每个数字各有多少个有趣的约数，由于a和b太大了，所以他只想知道这些个数之和是多少。

例如4有1个有趣的约数，8有2个有趣的约数，9有1个有趣的约数，所以1~10里每个数的有趣约数个数之和是4。

Input

输入数据包括2个数：a, b，中间用空格分隔。（1≤a≤b≤10^9）

Output

输出a~b里每个数字的有趣约数个数之和。

Input示例

1 10

Output示例

4

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标解：http://www.51nod.com/contest/problemSolution.html#!problemId=1742 

里面的式子改写一开始一直不明白，稍微有点明白了，说说另一种想的方法吧
最暴力的是枚举数字再枚举约数看看是不是平方因子数了
一个简单的优化是枚举约数i,约数i的贡献(倍数的数量)就是[n/i]
但还是会T
一个巧妙的想法是我们枚举是几倍，当前枚举的是i倍，那么满足i倍<=n的数字就是<=[n/i],答案加上<=[n/i]的平方因子数的个数，就是标解中最后的式子了
计算的时候用了两次分块n/(i*i)和n/i做到O(n^2/3)
然而比只一次分块还慢是什么鬼？sqrt的问题吗

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+;
inline int read(){
    char c=getchar();ll x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
int a,b;
bool notp[N];
int p[N],mu[N];
void sieve(int n){
    mu[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[]]=i,mu[i]=-;
        for(int j=;j<=p[]&&i*p[j]<=n;j++){
            notp[i*p[j]]=;
            if(i%p[j]==) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) printf("mu %d %d\n",i,mu[i]);
    //for(int i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
//int F(int n){
//    int _=0,r=0,m=sqrt(n);
//    for(int i=1;i<=m;i=r+1){
//        r=n/(n/(i*i));
//        _+=n/(i*i)*(mu[r]-mu[i-1]);
//    }
//    return n-_;
//}
int f(int n){
    int _=,m=sqrt(n);
    for(int i=;i<=m;i++)
        _+=n/(i*i)*mu[i];
    return n-_;
}
ll S(int n){//printf("n %d\n",n);
    ll ans=;int r=;
    for(int i=;i<=n;i=r+){
        r=n/(n/i);
        ans+=(r-i+)*f(n/i);
        //printf("f %d  %d %d  %d\n",n/i,i,r,f(n/i));
    }
    return ans;
}
int main(){
    //freopen("in","r",stdin);
    a=read();b=read();
    sieve(sqrt(b)+);
    printf("%lld",S(b)-S(a-));
}

一次分块

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+;
inline int read(){
    char c=getchar();ll x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
int a,b;
bool notp[N];
int p[N],mu[N];
void sieve(int n){
    mu[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[]]=i,mu[i]=-;
        for(int j=;j<=p[]&&i*p[j]<=n;j++){
            notp[i*p[j]]=;
            if(i%p[j]==) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) printf("mu %d %d\n",i,mu[i]);
    for(int i=;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-];
}
int F(int n){//printf("F %d\n",n);
    int _=,r=,m=sqrt(n);
    for(int i=;i<=m;i=r+){
        r=sqrt(n/(n/(i*i)));//printf("r %d\n",r);
        _+=n/(i*i)*(mu[r]-mu[i-]);
    }
    return n-_;
}
ll S(int n){//printf("n %d\n",n);
    ll ans=;int r=;
    for(int i=;i<=n;i=r+){
        r=n/(n/i);
        ans+=(r-i+)*F(n/i);
        //printf("F %d  %d %d  %d\n",n/i,i,r,F(n/i));
    }
    return ans;
}
int main(){
    //freopen("in","r",stdin);
    a=read();b=read();
    sieve(sqrt(b)+);
    printf("%lld",S(b)-S(a-));
}