和上题一样,只考虑旋转等价,只不过颜色和珠子$1e9$


一样的式子

$\sum\limits_{i=1}^n m^{gcd(i,n)}$

然后按$gcd$分类,枚举$n$的约数

如果这个也化不出来我莫比乌斯反演白♂学了

最后结果为

$\frac{1}{n}\sum\limits_{d \mid n}n^d \phi (\frac{n}{d})$

然后$\frac{1}{n}$可以放进去避免除法

然后欧拉函数显然需要现算,上午$T$了,改成筛质数之后算就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+;
inline int read(){
char c=getchar();int x=,f=;
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
return x*f;
}
int n,P;
int p[N];
bool notp[N];
void sieve(int n){
for(int i=;i<=n;i++){
if(!notp[i]) p[++p[]]=i;
for(int j=;j<=p[]&&i*p[j]<=n;j++){
notp[i*p[j]]=;
if(i%p[j]==) break;
}
}
}
inline int Pow(int a,int b){
int re=;
a%=P;
for(;b;b>>=,a=a*a%P)
if(b&) re=re*a%P;
return re;
}
inline int phi(int n){
int re=n,m=sqrt(n);
for(int i=;i<=p[]&&p[i]<=m&&p[i]<=n;i++) if(n%p[i]==){
re=re/p[i]*(p[i]-);
while(n%p[i]==) n/=p[i];
}
if(n>) re=re/n*(n-);
return re%P;
}
int main(){
freopen("in","r",stdin);
int T=read();
sieve();
while(T--){
n=read();P=read();
int m=sqrt(n),ans=;
for(int i=;i<=m;i++) if(n%i==){
ans+=Pow(n,i-)*phi(n/i)%P;
if(i*i!=n) ans+=Pow(n,n/i-)*phi(i)%P;
ans%=P;
}
printf("%d\n",ans);
}
}

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