bzoj 4916: 神犇和蒟蒻 （杜教筛+莫比乌斯反演）

题目大意：

　　读入n。

　　第一行输出“1”（不带引号）。

　　第二行输出$\sum_{i=1}^n i\phi(i)$。

题解：

　　所以说那个$\sum\mu$是在开玩笑么=。=

　　设$f(n)=n\phi(n),F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$。

　　设$g=(f*id)$，则$g(n)=\sum_{d|n}id(\frac{n}{d})f(d)=n^2$。

　　设$G(n)=\sum_{i=1}^n g(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

　　同时将$G$完全展开我们得到：

$G(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d*f(\frac{i}{d})$

$=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}f(i)$

$=\sum_{d=1}^{n}dF(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$

　　由此可得：$$F(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n}F(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)i$$

代码：

　

 #define Troy
 
 #include <bits/stdc++.h>
 
 using namespace std;
 
 inline int read(){
     int s=,k=;char ch=getchar();
     while(ch<''|ch>'')    ch=='-'?k=-:,ch=getchar();
     while(ch>&ch<='')    s=s*+(ch^),ch=getchar();
     return s*k;
 }
 
 const int N=1e6+,mod=1e9+;
 
 int phi[N],prim[N],num,vis[N],F[N],f[N],n,re6=,re2=;
 map<int,int> mp;
 
 inline int calc(int x){
     if(x<N) return F[x];
     else    if(mp.count(x)) return mp[x];
     int ret=x*1ll*(x+)%mod*(2ll*x+)%mod*re6%mod;
     for(register int i=,j;i<=x;i=j+){
         j=x/(x/i);
         ret=(ret-(j-i+1ll)*(i+j)/%mod*calc(x/i)%mod)%mod;
         if(ret<)   ret+=mod;
     }
     return mp[x]=ret;
 }
 
 int main(){
     n=read();puts("");
     register int i,j,k;
     phi[]=;
     for(i=;i<N;++i){
         if(!vis[i]) prim[++num]=i,phi[i]=i-;
         for(j=;(k=prim[j]*i)<N;++j){
             vis[k]=true;
             if(i%prim[j]){
                 phi[k]=phi[i]*1ll*(prim[j]-)%mod;
                 continue;
             }
             phi[k]=phi[i]*1ll*prim[j]%mod;break;
         }
     }
     for(i=;i<N;++i)    f[i]=1ll*phi[i]*i%mod,F[i]=(F[i-]*1ll+f[i])%mod;
     printf("%d\n",(calc(n)+mod)%mod);
 }