[Uva10294]Arif in Dhaka

标签: 置换 Burnside引理


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题意

有很多个珠子穿成环形首饰,手镯可以翻转和旋转,项链只能旋转。(翻转过的手镯相同,而项链不同)

有n个珠子,k种颜色,输出不同的项链和手镯的个数。

题解

  • 先考虑旋转的置换:

    假如旋转i颗珠子,那么显然产生的循环节个数为gcd(i,n),那么就可以做了。

  • 考虑翻转的置换:

    首先可以知道,如果先旋转再翻转,肯定可以找到某一种翻转的置换与之等价。

    那么假如珠子的个数为奇数,可以得到(n/2)个长度为2的循环,一个长度为1的循环。

    假如是偶数,那么还需要分情况讨论:

    • 如果对称轴不穿过任一珠子,那么会分成(n/2)个长度为2的循环;

    • 如果穿过珠子,就会分成(n/2-1)个长度为2的循环和2个长度为1的循环;

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
int sum=0,p=1;char ch=getchar();
while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
return sum*p;
} const int maxn=120; int n,t;
ll power[maxn]; void doing()
{
ll A=0,B=0;
power[0]=1;
REP(i,1,n)power[i]=power[i-1]*t;
REP(i,1,n)A+=power[__gcd(i,n)];
if(n & 1)B=n*power[n/2+1];
else B=n/2*(power[n/2]+power[n/2+1]);
cout<<A/n<<" "<<(A+B)/2/n<<endl;
} int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&t)==2)
{
doing();
} return 0;
}

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