Wannafly Winter Camp 2020 Day 5C Self-Adjusting Segment Tree - 区间dp,线段树
给定 \(m\) 个询问,每个询问是一个区间 \([l,r]\),你需要通过自由地设定每个节点的 \(mid\),设计一种“自适应线段树”,使得在这个线段树上跑这 \(m\) 个区间询问时,需要访问节点的次数最少。
Solution
对于询问 \([ql,qr]\) 和结点 \([l,r]\)
- 如果 \([ql,qr]\) 与 \([l,r]\) 相交但不包含,贡献为 \(1\)
- 如果 \([ql,qr]\) 包含 \([l,r]\)
- 如果 \(l=r\),则贡献 \(1\)
- 如果 \(l\neq r\),则贡献 \(-1\) (将两个合并为一个,省了一次)
这样一来,我们需要考虑的内容就与树的结构无关,每个结点对应的贡献只和它自身的范围有关
我们可以预处理 \(w[i][j]\) 表示 \([i,j]\) 这个结点产生的贡献,这个贡献可以用前缀和预处理出来
- 具体地,在 \(i\neq j\) 时,\([i,j]\) 对于任意 \([1\dots j,i \dots n]-[i\dots t,t\dots j]\)都产生了 \(1\) 的贡献,对任意 \([i\dots t,t\dots j]\) 都产生了 \(-1\) 的贡献
- 而在 \(i=j\) 时,产生 \(1\) 的贡献
设 \(f[i][j]\) 表示处理掉 \([i,j]\) 这段区间的最小答案,那么
\]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1005;
int n,m,t1,t2,w[N][N],f[N][N],x[N];
void modify(int i,int j,int k,int l,int v) {
w[i][k]+=v;
w[i][l+1]-=v;
w[j+1][k]-=v;
w[j+1][l+1]+=v;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++) {
cin>>t1>>t2;
modify(1,t2,t1,n,1);
modify(t1,t2,t1,t2,-2);
x[t1]+=2; x[t2+1]-=2;
}
for(int i=1;i<=n;i++) x[i]+=x[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
w[i][j]+=w[i-1][j]+w[i][j-1]-w[i-1][j-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) w[i][i]+=x[i], f[i][i]=w[i][i];
for(int l=2;l<=n;l++) {
for(int i=1;i+l-1<=n;i++) {
int j=i+l-1;
f[i][j]=1e14;
for(int k=i;k<j;k++) {
f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j],f[i][j]);
}
f[i][j]+=w[i][j];
}
}
cout<<f[1][n];
}
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