P1632 点的移动

题目描述

平面上有N个整数坐标点。如果将点(x0,y0)移动到(x1,y1),则需要的代价为|x0-x1|+|y0-y1|。求使得K(K=1,…,N)个点在同一位置上最少需要的代价。

输入输出格式

输入格式:

第一行两个正整数N;

接下来N行,每行两个正整数xi和yi,为第i个点的坐标,不超过10^6。

【数据规模】

对于100%的数据中,满足1<=N<=50。

输出格式:

输出共N行,第i行为使得有i个点在统一位置的最少代价。

输入输出样例

输入样例#1:

4
15 14
15 16
14 15
16 15
输出样例#1:

0
2
3
4

这道题网上题解太笼统,没有很严格的证明,总是用“很显然”去代替,去掩盖。

我想试着详细证明一下,我的大多数题解都有证明(可能不是很严谨),

首先,我并没有解出这道题。看到题解后,想了好久,才弄出下面这种证明的方法。

不过,为了让你们充分思考,我下面写一些启发式的线索,如果还有疑问,请私信或回复我,我会私信回复你证明过程。

先说结论:终点的横纵坐标全部来自原来点的横纵坐标。为了避免理解偏颇,我们举个例子:三个点(a,b)(c,d)(e,f),那么终点可能是(a,f)。

自己想可能有一定难度,但大家先想一个小时,再看下面的提示。

1、把x按顺序排成一列,从两段开始两两考虑,怎样最短。

再想。

2、类似两点之间线段最短。

再想

关门,放代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm> int n,x[60],y[60]; inline int d(int i,int j,int k){return abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[k]);} int dis[60],ans[60]; int sum; int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<=59;i++)
{
ans[i]=99999999;
} for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
} for(int i=1;i<=n;i++) //枚举所有的x
{ for(int j=1;j<=n;j++)//枚举所有的y
{ for(int k=1;k<=n;k++)//枚举所有点,计算
{
dis[k]=d(k,i,j);
} sum=0;
std::sort(dis+1,dis+n+1); for(int k=1;k<=n;k++)
{
sum+=dis[k];
ans[k]=std::min(ans[k],sum);
}
}
} for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d\n",ans[i]);
}
return 0;
}

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