P、NP、NPC和NP-Hard相关概念的图形和解释
P、NP、NPC和NP-Hard相关概念的图形和解释
http://blog.csdn.net/huang1024rui/article/details/49154507
一、相关概念
P: 能在多项式时间内解决的问题
NP: 不能在多项式时间内解决或不确定能不能在多项式时间内解决,但能在多项式时间验证的问题
NPC: NP完全问题,所有NP问题在多项式时间内都能约化(Reducibility)到它的NP问题,即解决了此NPC问题,所有NP问题也都得到解决。
NP hard:NP难问题,所有NP问题在多项式时间内都能约化(Reducibility)到它的问题(不一定是NP问题)。
二、四者联系的图形表示
说明:
1. P问题属于NP问题,NPC问题属于NP问题。
2. NPC问题同时属于NP hard问题,是NP与NPhard的交集。
三,进一步解释
3.1 时间复杂度
3.2 P类问题的概念
3.3 NP问题的概念
很显然,所有的P类问题都是NP问题。也就是说,能多项式地解决一个问题,必然能多项式地验证一个问题的解——既然正解都出来了,验证任意给定的解也只需要比较一下就可以了。关键是,人们想知道,是否所有的NP问题都是P类问题。我们可以再用集合的观点来说明。如果把所有P类问题归为一个集合P中,把所有 NP问题划进另一个集合NP中,那么,显然有P属于NP。现在,所有对NP问题的研究都集中在一个问题上,即究竟是否有P=NP?通常所谓的“NP问题”,其实就一句话:证明或推翻P=NP。
3.4 NPC问题
1、约化的定义
2.NPC问题
3.5 NP-Hard问题
不要以为NPC问题是一纸空谈。NPC问题是存在的。确实有这么一个非常具体的问题属于NPC问题。下文即将介绍它。
NP-Hard和NP-Complete 区别
对NP-Hard问题和NP-Complete问题的一个直观的理解就是指那些很难(很可能是不可能)找到多项式时间算法的问题. 因此一般初学算法的人都会问这样一个问题: NP-Hard和NP-Complete有什么不同? 简单的回答是根据定义, 如果所有NP问题都可以多项式归约到问题A, 那么问题A就是NP-Hard; 如果问题A既是NP-Hard又是NP, 那么它就是NP-Complete. 从定义我们很容易看出, NP-Hard问题类包含了NP-Complete类. 但进一步的我们会问, 是否有属于NP-Hard但不属于NP-Complete的问题呢? 答案是肯定的. 例如停机问题, 也即给出一个程序和输入, 判定它的运行是否会终止. 停机问题是不可判的, 那它当然也不是NP问题. 但对于SAT这样的NP-Complete问题, 却可以多项式归约到停机问题. 因为我们可以构造程序A, 该程序对输入的公式穷举其变量的所有赋值, 如果存在赋值使其为真, 则停机, 否则进入无限循环. 这样, 判断公式是否可满足便转化为判断以公式为输入的程序A是否停机. 所以, 停机问题是NP-Hard而不是NP-Complete.
四.举例
下文即将介绍逻辑电路问题。这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约化而来的。因此,逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。
逻辑电路问题是指的这样一个问题:给定一个逻辑电路,问是否存在一种输入使输出为True。
有了第一个NPC问题后,一大堆NPC问题就出现了,因为再证明一个新的NPC问题只需要将一个已知的NPC问题约化到它就行了。后来,Hamilton 回路成了NPC问题,TSP问题也成了NPC问题。现在被证明是NPC问题的有很多,任何一个找到了多项式算法的话所有的NP问题都可以完美解决了。因此说,正是因为NPC问题的存在,P=NP变得难以置信。P=NP问题还有许多有趣的东西,有待大家自己进一步的挖掘。攀登这个信息学的巅峰是我们这一代的终极目标。现在我们需要做的,至少是不要把概念弄混淆了。
更详细的,以下转自:http://blog.csdn.net/crfoxzl/article/details/2192957
NP问题就是指其解的正确性可以在多项式时间内被检查的一类问题。比如说数组求和,得到一个解,这个解对不对呢,显然是可以在多项式时间内验证的。再比如说SAT,如果得到一个解,也是能在多项式时间内验证正确性的。所以SAT和求和等等都是NP问题。然后呢,有一部分NP问题的解已经可以在多项式时间内找到,比如数组求和,这部分问题就是NP中比较简单的一部分,被命名为P类问题。那么P以外的NP问题,就是目前还不能够在多项式时间内求解的问题了。会不会将来某一天,有大牛发明了牛算法,把这些问题都在多项式时间内解决呢?也就是说,会不会所有的NP问题,其实都是P类问题呢,只是人类尚未发现呢?NP=P吗?
可想而知,证明NP=P的路途是艰难的,因为NP问题实在太多了,要一一找到多项式算法。这时Stephen A. Cook这位大牛出现了,写了一篇The Complexity of Theorem Proving Procedures,提出了一个NP-complete的概念。NPC指的是NP问题中最难的一部分问题,所有的NP问题都能在多项式时间内归约到NPC上。所谓归约是指,若A归约到B,B很容易解决,则A很容易解决。显然,如果有任何一道NPC问题在多项式时间内解决了,那么所有的NP问题就都成了P类问题,NP=P就得到证明了,这极大的简化了证明过程。那么怎样证明一个问题C是NP完全问题呢?首先,要证明C是NP问题,也就是C的解的正确性容易验证;然后要证明有一个NP完全问题B,能够在多项式时间内归约到C。这就要求必须先存在至少一个NPC问题。这时Cook大牛就在1971年证明了NP完全问题的祖先就是SAT。SAT问题是指给定一个包含n个布尔变量的逻辑式,问是否存在一个取值组合,使得该式被满足。Cook证明了SAT是一个NPC问题,如果SAT容易解决,那么所有NP都容易解决。Cook是怎样做到的呢?
他通过非确定性图灵机做到的。非确定性图灵机是一类特殊的图灵机,这种机器很会猜,只要问题有一个解,它就能够在多项式时间内猜到。Cook证明了,SAT总结了该机器在计算过程中必须满足的所有约束条件,任何一个NP问题在这种机器上的计算过程,都可以描述成一个SAT问题。所以,如果你能有一个解决SAT的好算法,你就能够解决非确定性图灵机的计算问题,因为NP问题在非图机上都是多项式解决的,所以你解决了SAT,就能解决所有NP,因此——SAT是一个NP完全问题。感谢Cook,我们已经有了一个NPC问题,剩下的就好办了,用归约来证明就可以了。目前人们已经发现了成千上万的NPC问题,解决一个,NP=P就得证,可以得千年大奖(我认为还能立刻获得图灵奖)。
那么肯定有人要问了,那么NP之外,还有一些连验证解都不能多项式解决的问题呢。这部分问题,就算是NP=P,都不一定能多项式解决,被命名为NP-hard问题。NP-hard太难了,怎样找到一个完美的女朋友就是NP-hard问题。一个NP-hard问题,可以被一个NP完全问题归约到,也就是说,如果有一个NP-hard得到解决,那么所有NP也就都得到解决了。
参考文献:
1.什么是P问题、NP问题和NPC问题 :http://www.matrix67.com/blog/archives/105
2.P/NP/NPC/NP-hard概念的图形解释:
http://www.cnblogs.com/jpcflyer/archive/2012/04/15/2450622.html
3.什么是NP问题,什么是NP hard问题,什么是NP完全问题 :
http://blog.csdn.net/com_stu_zhang/article/details/7248277
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