解题：CF960G Bandit Blues & FJOI 2016 建筑师

题面1 题面2

两个题推导是一样的，具体实现不一样，所以写一起了，以FJOI 2016 建筑师 的题面为标准

前后在组合意义下一样，现在只考虑前面，可以发现看到的这a个建筑将这一段划分成了a-1个区间，区间里的数随意填。

看起来可以用组合数算，但是还要考虑看到的建筑，所以我们把每个建筑和它后面这段区间合起来看。设区间的长度是len，这就是一个len+1个数的圆排列(等于len!，相当于固定一个开头后面随便排)

这样考虑前后就是将n-1个数划分为a+b-2个全排列，n-1是因为最高的那个在两边都没被算进去，是第一类斯特林数。同时a+b-2个圆排列之间还要选出来a-1个放前面，乘上组合数即可。现在关键是如何求第一类斯特林数。

FJOI那道题n*k不是很大，可以直接$O(nk)$递推，边界条件是$S[0][0]=1$，转移是$S[i][j]=S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*(i-1)$

CF那道题只有一次询问，但是n,k都很大，我们考虑第一类斯特林数在第一维固定下的生成函数：$G(x)=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x+i)$，x是从$s[i-1][j-1]$来的，i-1是从$s[i-1][j]*(i-1)$来的。用分治NTT优化

Code1

 //Simple NTT
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define vint vector<int>
 using namespace std;
 const int N=,mod=;
 int fac[N],inv[N],rev[N];
 int aa[N],bb[N],pw[][];
 int a,b,n,l1,l2,G,Gi,Ni; vint stl;
 int Qpow(int x,int k)
 {
     if(k==) return x;
     int tmp=Qpow(x,k/);
     return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
 }
 int C(int a,int b)
 {
     return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
 }
 void SPJ()
 {
     if(!a||!b||n-<a+b-) printf(""),exit();
     if(n==) printf(""),exit();
 }
 void Pre()
 {
     fac[]=inv[]=,G=,Gi=Qpow(G,mod-);
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         pw[i][]=Qpow(G,(mod-)/(<<i));
         pw[i][]=Qpow(Gi,(mod-)/(<<i));
     }
     for(int i=;i<=a+b;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     inv[a+b]=Qpow(fac[a+b],mod-);
     for(int i=a+b-;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
 }
 void Prework(vint &a,vint &b)
 {
     register int i;
     l1=a.size()-,l2=b.size()-;
     l1+=l2,l2=; while(l2<=l1) l2<<=;
     a.resize(l2),b.resize(l2);
     for(i=;i<=l2;i++) aa[i]=a[i];
     for(i=;i<=l2;i++) bb[i]=b[i];
     for(i=;i<l2;i++)
         rev[i]=(rev[i>>]>>)+(i&)*(l2>>);
 }
 void Trans(int *arr,int len,int typ)
 {
     register int i,j,k;
     for(i=;i<len;i++)
         if(rev[i]>i) swap(arr[rev[i]],arr[i]);
     for(i=;i<=len;i<<=)
     {
         int lth=i>>,ort=pw[(int)log2(i)][typ==-];
         for(j=;j<len;j+=i)
         {
             int ori=,tmp;
             for(k=j;k<j+lth;k++,ori=1ll*ori*ort%mod)
             {
                 tmp=1ll*ori*arr[k+lth]%mod;
                 arr[k+lth]=(arr[k]-tmp+mod)%mod;
                 arr[k]=(arr[k]+tmp)%mod;
             }
         }
     }
     if(typ==-)
     {
         int Ni=Qpow(len,mod-);
         for(i=;i<=len;i++)
             arr[i]=1ll*arr[i]*Ni%mod;
     }
 }
 vint NTT(vint a,vint b)
 {
     Prework(a,b);
     Trans(aa,l2,),Trans(bb,l2,);
     for(int i=;i<l2;i++) aa[i]=1ll*aa[i]*bb[i]%mod;
     Trans(aa,l2,-);
     vint ret; ret.clear();
     for(int i=;i<l2;i++) ret.push_back(aa[i]);
     return ret;
 }
 vint CDQ(int l,int r)
 {
     if(l==r) return {l,};
     else
     {
         int mid=(l+r)/;
         vint a1=CDQ(l,mid),a2=CDQ(mid+,r);
         return NTT(a1,a2);
     }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
     SPJ(),Pre(),stl=CDQ(,n-);
     printf("%d",1ll*C(a+b-,a-)*stl[a+b-]%mod);
     return ;
 }

Code2

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=,M=,mod=1e9+;
 int fac[N],inv[N],S[N][M];
 int a,b,n,T,l1,l2,G,Gi,Ni;
 int Qpow(int x,int k)
 {
     if(k==) return x;
     int tmp=Qpow(x,k/);
     return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
 }
 int C(int a,int b)
 {
     return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
 }
 bool SPJ()
 {
     if(!a||!b||n-<a+b-)
         {puts(""); return false;}
     if(n==)
         {puts(""); return false;}
     return true;
 }
 void Pre()
 {
     register int i,j;
     fac[]=inv[]=,S[][]=;
     for(i=;i<=;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     inv[]=Qpow(fac[],mod-);
     for(i=;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
     for(i=;i<=;i++)
         for(j=;j<=;j++)
             S[i][j]=(S[i-][j-]+1ll*(i-)*S[i-][j]%mod)%mod;
 }
 int main()
 {
     Pre();
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
         if(SPJ()) printf("%lld\n",1ll*C(a+b-,a-)*S[n-][a+b-]%mod);
     }
     return ;
 }