德布鲁因序列与indexing 1

目录

• 写在前面
• 标记left-most 1与right-most 1
• 确定位置
• 德布鲁因序列（De Bruijn sequence）
• 德布鲁因序列的使用
• 德布鲁因序列的生成与索引表的构建
• 参考

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写在前面

在数值计算中，为了控制精度以及避免越界，需要严格控制数值的范围，有时需要知道二进制表示中"left-most 1"或"right-most 1”的位置，这篇文章就来介绍一下通过德布鲁因序列（De Bruijn sequence）来快速定位的方法。

标记left-most 1与right-most 1

对于一个二进制数\(v\)，如何仅保留最低位或最高位的1?

最低位的1，即right-most 1，其特点是这一位右侧均为0，可通过v & -v或者v & ((~v)+1)来标记最低位的1。

比如0101 1010，取反后为1010 0101，再加1为1010 0110，与后为0000 0010。

最高位的1，即left-most 1，其特点是这一位左侧均为0，可通过下面来标记最高位的1。

uint32_t keepHighestBit( uint32_t n )
{
    n |= (n >>  1);
    n |= (n >>  2);
    n |= (n >>  4);
    n |= (n >>  8);
    n |= (n >> 16);
    return n - (n >> 1);
}

前5行移位将最高位1右侧的所有位均置为1，n-(n >> 1)再将他们清0。

至此，我们已经得到了一个二进制的“one hot”表示，只有1位为1，它标记了最高位或最低位1的位置。

确定位置

假设，得到的“one hot”表示为0000 0100 0000 0000，如何确定1在哪一位呢？

比较直接的想法是通过移位计数，不断右移，并计数，直到最低位为1。

有没有更好的方法？

令得到的“one hot”表示为h，对于uint32，h只有32种，我们希望找到的这32种one hot表示与\(0\sim 31\)的映射关系，即\(f(h) \rightarrow 0\sim 31\)。

• 查表：以h对应的uint32数为下标，构建数组，通过查表方式得到，但h最大为\(2^{31}\)，直接构建数组不现实
• 哈希：再增加一层映射，\(f(g(h)) \rightarrow 0\sim 31\)，即找到一个hash函数\(g\)，先将\(h\)映射到\(0 \sim 31\)，再通过查表\(0\sim 31 \rightarrow 0\sim 31\)，但一般哈希会涉及到取余操作，还要考虑不要有碰撞

对这个特殊问题，可以使用 德布鲁因序列——可视为一种特殊的哈希，不需要取余，且绝不会发生碰撞。

德布鲁因序列（De Bruijn sequence）

先看一个德布鲁因序列的例子，令字符集\(A = \{0, 1\}\)，字符有\(k=2\)种，子串长度\(n=2\)，则所有可能的子串有\(\{00, 01, 10, 11\}\)，则循环序列\(0011\)是一个德布鲁因序列，\(0011\)的所有连续子串恰好为\(\{00, 01, 10, 11\}\)，都出现且只出现一次，同样，循环序列\(1001\)也是一个德布鲁因序列。

可见，德布鲁因序列并不唯一，且是个循环序列，长度恰好为\(k^n\)，与所有可能子串的数量相同。

wiki上的定义如下，

In combinatorial mathematics, a de Bruijn sequence of order \(n\) on a size-\(k\) alphabet A is a cyclic sequence in which every possible length-\(n\) string on \(A\) occurs exactly once as a substring (i.e., as a contiguous subsequence). Such a sequence is denoted by \(B(k, n)\) and has length \(k^n\), which is also the number of distinct strings of length \(n\) on \(A\).

——from wiki De Bruijn sequence

再举一个\(B(2, 4)\)的例子，序列长度为\(2^4=16\)，如下

\[0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1
\]

其所有循环子串如下，

每个位置的子串均不相同，所有子串对应着\(0\sim 2^n-1\)范围的整数，恰好形成了\(2^n\)个位置与\(2^n\)个数的映射。

德布鲁因序列的使用

将h与德布鲁因序列相乘，相当于左移操作，把某位置的子串移到了最左端，再将该子串右移至最右，即仅保留该子串，可知道该子串是什么，因为序列中每个子串的位置都是唯一的，根据映射关系可知道该子串的位置，相当于知道了h。为此需要建立 子串与位置 对应关系的检索表。

unsigned int v;
int r;
static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] =
{
  0, 1, 28, 2, 29, 14, 24, 3, 30, 22, 20, 15, 25, 17, 4, 8,
  31, 27, 13, 23, 21, 19, 16, 7, 26, 12, 18, 6, 11, 5, 10, 9
};
r = MultiplyDeBruijnBitPosition[((uint32_t)((v & -v) * 0x077CB531U)) >> 27];
// The index of the LSB in v is stored in r
//return the index of the most significant bit set from a 32 bit unsigned integer
uint8_t highestBitIndex( uint32_t b )
{
    static const uint32_t deBruijnMagic = 0x06EB14F9;
    static const uint8_t deBruijnTable[32] = {
         0,  1, 16,  2, 29, 17,  3, 22, 30, 20, 18, 11, 13,  4,  7, 23,
        31, 15, 28, 21, 19, 10, 12,  6, 14, 27,  9,  5, 26,  8, 25, 24,
    };
    return deBruijnTable[(keepHighestBit(b) * deBruijnMagic) >> 27];
}

因为德布鲁因序列是循环序列，而左移操作会自动在最低位填0，所以习惯将全0子串放在序列的最高位，这样比较方便，不需要特殊处理。

德布鲁因序列的生成与索引表的构建

德布鲁因序列可以通过构建德布鲁因图得到，图中每条哈密顿路径（Hamiltonian path）都对应一个德布鲁因序列，

数量共有

\[\frac{(k !)^{k^{n-1}}}{k^{n}}
\]

具体生成方式和证明可查看De Bruijn sequence和神奇的德布鲁因序列。

保存子串与位置映射关系的检索表可通过如下方式生成，其中debruijn32为德布鲁因序列对应的uint32正整数。

uint8 index32[32] = {0};
void setup( void )
{
	int i;
	for(i=0; i<32; i++)
		index32[ (debruijn32 << i) >> 27 ] = i;
}

参考

• De Bruijn sequence
• 神奇的德布鲁因序列
• De Bruijn Sequences for Fun and Profit
• Bit mathematics cookbook