[Usaco2009 Feb]Revamping Trails 道路升级

题目描述

每天,农夫John需要经过一些道路去检查牛棚N里面的牛. 农场上有M(1<=M<=50,000)条双向泥土道路,编号为1..M. 道路i连接牛棚P1_i和P2_i (1 <= P1_i <= N; 1 <= P2_i<= N). John需要T_i (1 <= T_i <= 1,000,000)时间单位用道路i从P1_i走到P2_i或者从P2_i 走到P１_i 他想更新一些路经来减少每天花在路上的时间.具体地说,他想更新K (1 <= K <= 20)条路经，将它们所须时间减为０．帮助FJ选择哪些路经需要更新使得从１到N的时间尽量少.

输入格式

第一行: 三个空格分开的数: N, M, 和 K

第2..M+1行: 第i+1行有三个空格分开的数：P1_i, P2_i, 和 T_i

输出格式

第一行: 更新最多Ｋ条路经后的最短路经长度．

---

解法1：

动态规划。设dis(i,j)表示更新了j条路径之后i的最短路，设pre(u)表示u的前驱节点，那么：

\[dis[i][j]=Min_{k{\in}pre(i)}{\{}Min(dis[k][j]+edge(k,i),dis[k][j-1]){\}}
\]

解法2：

分层图最短路，把原图多建k层，若原图中存在edge(u,v)，那么把每层的u都往下一层的v连一条长度为0的有向边，然后跑最短路即可。答案为每一层终点的最短路的最小值

时间复杂度都是O((N+M)log(K*(N+M)))。给出分层图最短路的代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define maxn 10001
#define maxm 50001
#define maxk 21
using namespace std;

struct edge{
    int to,dis,next;
    edge(){}
    edge(const int &_to,const int &_dis,const int &_next){ to=_to,dis=_dis,next=_next; }
}e[maxm*maxk*4];
int head[maxn*maxk],k;

int dis[maxn*maxk];
bool vis[maxn*maxk];
int n,m,q,s,t;

inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
inline void add(const int &u,const int &v,const int &w){ e[k]=edge(v,w,head[u]),head[u]=k++; }

inline void dijkstra(){
    priority_queue< pair<int,int>,vector< pair<int,int> >,greater< pair<int,int> > > q;
    memset(dis,0x3f,sizeof dis),dis[1]=0;
    q.push(make_pair(0,1));
    while(q.size()){
        int u=q.top().second; q.pop();
        if(vis[u]) continue; vis[u]=true;
        for(register int i=head[u];~i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis) dis[v]=dis[u]+e[i].dis,q.push(make_pair(dis[v],v));
        }
    }
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof head);
    n=read(),m=read(),q=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        for(register int j=0;j<=q;j++) add(u+n*j,v+n*j,w),add(v+n*j,u+n*j,w);
        for(register int j=1;j<=q;j++) add(u+n*(j-1),v+n*j,0),add(v+n*(j-1),u+n*j,0);
    }
    dijkstra();

    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(register int i=0;i<=q;i++) ans=min(ans,dis[n+n*i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}