简介

这就是用来记录我对于《信息学奥赛一本通 · 提高篇》一书中的习题的刷题记录以及学习笔记。

一般分专题来写（全部写一起可能要加载很久...），比如本章就是用来记录AC自动机的。

再插一句：Loj 真是个不错的 OJ，如果说洛谷是最棒的 OIer 社区，那 Loj 就是最棒的刷题专区。

PS：这里的“最棒的”仅仅指带给我的练习感觉最好，例如画风好康，且仅代表个人意见。

专题介绍：AC 自动机，高效的多模匹配算法，是 trie 与 KMP 的综合运用，主要靠 \(fail[]\) 指针加快速度。

一般 AC 自动机的题目都十分毒瘤（神犇勿喷），如果你还不了解 AC 自动机，可以康康我的文章。

第一题

#10057 「一本通 2.4 例 1」Keywords Search

裸题？确实是裸题，不讲了。

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <queue>

#define N 10010

#define M 1000010

using namespace std;

int n, T, trie[N][30], cnt[N], fail[N], tot = 1;

long long ans = 0;

char s[N], a[M];

int read() {

    int x = 0, f = 1;

    char c = getchar();

    while (c < '0' || c > '9') f = (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar();

    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();

    return x * f;

}

void insert(char* a) {

    int p = 1, len = strlen(a);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        int ch = a[i] - 'a';

        if (!trie[p][ch])

            trie[p][ch] = ++tot;

        p = trie[p][ch];

    }

    cnt[p]++;

    return;

}

void get_fail() {

    queue<int> q;

    for (int i = 0; i < 26; i++) {

        if (!trie[1][i]) {

            trie[1][i] = 1;

            continue;

        }

        fail[trie[1][i]] = 1;

        q.push(trie[1][i]);

    }

    while (!q.empty()) {

        int now = q.front();

        q.pop();

        for (int i = 0; i < 26; i++) {

            if (trie[now][i]) {

                fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

                q.push(trie[now][i]);

            } else

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

        }

    }

    return;

}

void AC_find(char* a) {

    int p = 1, len = strlen(a);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        p = trie[p][a[i] - 'a'];

        for (int j = p; j && cnt[j] != -1; j = fail[j]) {

            ans += cnt[j];

            cnt[j] = -1;

        }

    }

    return;

}

int main() {

    T = read();

    while (T--) {

        tot = 1;

        ans = 0;

        memset(trie, 0, sizeof(trie));

        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));

        memset(fail, 0, sizeof(fail));

        n = read();

        for (int i = 1; i <= n; i++) {

            scanf("%s", s);

            insert(s);

        }

        get_fail();

        scanf("%s", a);

        AC_find(a);

        printf("%lld\n", ans);

    }

    return 0;

}

第二题

#10058 「一本通 2.4 练习 1」玄武密码

又是裸题？至少需要一点技巧了。

一开始的想法是 vector + AC 自动机暴力统计，发现 20 分 TLE 滚粗。

所以怎么办？方法如下：

根据传统的 AC 自动机，在 trie 树上跑母串。
每到一个点就标记它的每一个 \(fail[]\) 指针。（包括他本身）
统计答案时，从每个单词的最下方往前跳，第一个被标记的节点的下标即为答案。

证明略。（你都是打 AC 自动机的人了，至少是提高组吧，这点水平应该还是有的）

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstring>

#define N 10000010

#define M 100010

using namespace std;

int ch[50], n, m, tot = 0;

int trie[N][5], fail[N], end[M], l[M], pre[N], flag[N];

char a[N], s[110];

void insert(char* a, int x) {

    int p = 0, len = strlen(a);

    l[x] = len;

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        int c = ch[a[i] - 'A'];

        if (!trie[p][c]) {

            trie[p][c] = ++tot;

            pre[tot] = p;

        }

        p = trie[p][c];

    }

    end[x] = p;

    return;

}

void get_fail() {

    queue<int> q;

    for (int i = 0; i < 4; i++)

        if (trie[0][i])

            fail[trie[0][i]] = 0, q.push(trie[0][i]);

    while (!q.empty()) {

        int now = q.front();

        q.pop();

        for (int i = 0; i < 4; i++) {

            if (trie[now][i]) {

                fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

                q.push(trie[now][i]);

            } else

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

        }

    }

    return;

}

void AC_work() {

    int len = strlen(a), p = 0;

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        p = trie[p][ch[a[i] - 'A']];

        int k = p;

        while (k > 1) {

            if (flag[k])

                break;

            flag[k] = true;

            k = fail[k];

        }

    }

    return;

}

int get_ans(int x) {

    int p = end[x];

    for (int i = l[x]; i; i--) {

        if (flag[p])

            return i;

        p = pre[p];

    }

    return 0;

}

int main() {

    memset(flag, false, sizeof(flag));

    ch['N' - 'A'] = 0;

    ch['S' - 'A'] = 1;

    ch['W' - 'A'] = 2;

    ch['E' - 'A'] = 3;

    scanf("%d %d", &n, &m);

    scanf("%s", a);

    for (int i = 1; i <= m; i++) {

        scanf("%s", s);

        insert(s, i);

    }

    get_fail();

    AC_work();

    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d\n", get_ans(i));

    return 0;

}

第三题

#10059 「一本通 2.4 练习 2」Censoring

裸题？不存在的。

经典的 AC 自动机 + 栈的题目，还记得我们做过一道 KMP + 栈的题目吗。（不记得）

类似的，在 AC 自动机的同时用栈维护即可啦。

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <queue>

#define N 100010

using namespace std;

int n, trie[N][30], fail[N], jl[N], sk[N], tot = 0, cnt = 0, ed[N];

char s[N], t[N], ans[N];

void insert(char* a) {

    int p = 0, len = strlen(a);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        int ch = a[i] - 'a';

        if (!trie[p][ch])

            trie[p][ch] = ++tot;

        p = trie[p][ch];

    }

    ed[p] = len;

    return;

}

void get_fail() {

    queue<int> q;

    for (int i = 0; i < 26; i++)

        if (trie[0][i])

            fail[trie[0][i]] = 0, q.push(trie[0][i]);

    while (!q.empty()) {

        int now = q.front();

        q.pop();

        for (int i = 0; i < 26; i++) {

            if (trie[now][i]) {

                fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

                q.push(trie[now][i]);

            } else

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

        }

    }

    return;

}

void AC_work() {

    int p = 0, len = strlen(s);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        p = trie[p][s[i] - 'a'];

        jl[i] = p;

        sk[++cnt] = i;

        if (ed[p]) {

            cnt -= ed[p];

            p = jl[sk[cnt]];

        }

    }

    return;

}

int main() {

    memset(ed, 0, sizeof(ed));

    scanf("%s", s);

    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        scanf("%s", t);

        insert(t);

    }

    get_fail();

    AC_work();

    for (int i = 1; i <= cnt; i++) printf("%c", s[sk[i]]);

    printf("\n");

    return 0;

}

第四题

#10060 「一本通 2.4 练习 3」单词

用到 fail 树，不知道，康康这篇文章。

因为题目中所有的模式串=文本串，所以本题甚至连 fail 树都不用建。

同样的运用 fail 树的思想，通过逆 BFS 序统计答案即可。

为什么是逆 BFS 序？其实就是从下往上想根节点集中，也就是上面的统计子树大小。

但是由于本题的特殊性质（所有的模式串=文本串），只要一个循环就可以搞定了。

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#define N 1000010

using namespace std;

int n, trie[N][30], fail[N], sum[N], match[N];

int tot = 0, head, tail, q[N];

char s[N];

void insert(char* a, int x) {

    int p = 0, len = strlen(a);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        int ch = a[i] - 'a';

        if (!trie[p][ch])

            trie[p][ch] = ++tot;

        p = trie[p][ch];

        sum[p]++;

    }

    match[x] = p;

    return;

}

void get_fail() {

    tail = head = 0;

    for (int i = 0; i < 26; i++)

        if (trie[0][i])

            fail[trie[0][i]] = 0, q[++tail] = trie[0][i];

    while (head < tail) {

        int now = q[++head];

        for (int i = 0; i < 26; i++)

            if (trie[now][i]) {

                fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

                q[++tail] = trie[now][i];

            } else

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

    }

    return;

}

int main() {

    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        scanf("%s", s);

        insert(s, i);

    }

    get_fail();

    for (int i = tail; i >= 0; i--) sum[fail[q[i]]] += sum[q[i]];

    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", sum[match[i]]);

    return 0;

}

第五题

#10062 「一本通 2.4 练习 5」病毒

关键：判断是否有无限长的非病毒串。（废话）

建立 trie 图，显然当有一条路径可以不经过模式串而形成环时有无限长的非病毒串。

然后判环就可以了，怎么判？拓扑排序会不会？DFS 会不会？随便你挑。

这里选择拓扑排序判环。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <queue>

#define N 300010

using namespace std;

int n, trie[N][2], fail[N], tot = 0, ru[N], head[N], cnt = 0;

bool ed[N];

char s[N];

struct node {

    int nxt, to;

} edge[N];

void insert(char* a) {

    int p = 0, len = strlen(a);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        int ch = a[i] - '0';

        if (!trie[p][ch])

            trie[p][ch] = ++tot;

        p = trie[p][ch];

    }

    ed[p] = true;

    return;

}

void get_fail() {

    queue<int> q;

    for (int i = 0; i < 2; i++)

        if (trie[0][i])

            fail[trie[0][i]] = 0, q.push(trie[0][i]);

    while (!q.empty()) {

        int now = q.front();

        q.pop();

        ed[now] |= ed[fail[now]];

        for (int i = 0; i < 2; i++)

            if (trie[now][i]) {

                fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

                q.push(trie[now][i]);

            } else

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

    }

    return;

}

void addedge(int x, int y) {

    ru[y]++;

    cnt++;

    edge[cnt].nxt = head[x];

    edge[cnt].to = y;

    head[x] = cnt;

    return;

}

bool topo() {

    queue<int> q;

    int sum = 0;

    for (int i = 1; i <= tot; i++) {

        if (ed[i]) {

            sum++;

            continue;

        }

        for (int j = 0; j < 2; j++)

            if (!ed[trie[i][j]])

                addedge(i, trie[i][j]);

    }

    for (int i = 1; i <= tot; i++)

        if (!ed[i] && !ru[i])

            q.push(i);

    while (!q.empty()) {

        int now = q.front();

        q.pop();

        sum++;

        for (int i = head[now]; i; i = edge[i].nxt)

            if (!--ru[edge[i].to])

                q.push(edge[i].to);

    }

    return sum == tot;

}

int main() {

    memset(ed, false, sizeof(ed));

    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        scanf("%s", s);

        insert(s);

    }

    get_fail();

    memset(ru, 0, sizeof(ru));

    if (!topo())

        printf("TAK\n");

    else

        printf("NIE\n");

    return 0;

}

第六题

#10063 「一本通 2.4 练习 6」文本生成器

DP + AC 自动机，很神仙的做法。

AC 自动机的 DP 都非常套路，大部分 \(f[i][j]\) 表示当前在节点 \(j\),且串长为i时的情况，

有时再加一维表示这个状态里面包含了哪些东西，而且 AC 自动机的 DP 会经常让你用矩阵乘法优化。

那么对于这个题，我们可以先将AC自动机建立出来，然后搞一个简单的容斥：用所有的情况减去不可读的情况。

那么那些是不可读的情况呢？当然就是跑不到单词结尾节点的情况喽……

定义 \(f[i][j]\) 表示当前在 \(j\) 点且串长为 \(i\) 时不经过单词结尾的路径条数，然后从父亲往儿子转移即可。

注意如果一个单词的后缀是一个可读单词(即 fail 指针指向可读单词的结尾节点)

那么这个单词一定也是可读的，我们就不能往这个单词走了。

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <queue>

#define N 10010

#define MOD 10007

using namespace std;

int n, m, f[N][N], tot = 0, ans = 0, trie[N][30], fail[N];

bool ed[N];

char a[110];

void insert(char* a) {

    int p = 0, len = strlen(a);

    for (int i = 0; i < len; i++) {

        int ch = a[i] - 'A';

        if (!trie[p][ch])

            trie[p][ch] = ++tot;

        p = trie[p][ch];

    }

    ed[p] = true;

    return;

}

void get_fail() {

    queue<int> q;

    for (int i = 0; i < 26; i++)

        if (trie[0][i]) {

            fail[trie[0][i]] = 0;

            q.push(trie[0][i]);

        }

    while (!q.empty()) {

        int now = q.front();

        q.pop();

        for (int i = 0; i < 26; i++) {

            if (!trie[now][i]) {

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

                continue;

            }

            ed[trie[now][i]] |= ed[trie[fail[now]][i]];

            fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

            q.push(trie[now][i]);

        }

    }

    return;

}

int main() {

    scanf("%d %d %d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        scanf("%s", a);

        insert(a);

    }

    get_fail();

    f[0][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= m; i++)

        for (int j = 0; j <= tot; j++)

            for (int k = 0; k < 26; k++)

                if (!ed[trie[j][k]])

                    (f[i][trie[j][k]] += f[i - 1][j]) %= MOD;

    for (int i = 0; i <= tot; i++) (ans += f[m][i]) %= MOD;

    int sum = 1;

    for (int i = 1; i <= m; i++) sum = sum * 26 % MOD;

    printf("%d\n", (sum - ans + MOD) % MOD);

    return 0;

}

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习惯 001.在那充满古老年鉴的年代里,扔掉你的恶行,不管它们曾经给你带来多大的好处. 002.许多关于预言的争论都可以简化为:当你说是时,就有人说浊;当你认为不是时,一定有人说是. 003.坏习惯和 ...
JVM垃圾回收的基础知识
什么是垃圾? 没有任何引用指向的对象,就是垃圾如何找到垃圾?(2 种方法) 过程:先找到正在使用的对象,然后把没有正在使用的对象进行回收 1.引用数-Reference-Count 被引用数为 0 ...
[学习笔记] Treap
想必大家都知道一种叫做二叉搜索树这东西吧,那么我们知道,在某些特殊情况下,二叉搜索树会退化成一条链,而且如果出题人成心想卡你的话也很简单,分分钟把你(n log n)的期望卡成.那么我们该如何避免这种 ...
Python 的映射数据类型有哪些？零基础小白入门学习必看
1 映射类关系 Python 的 collections.abc 模块内拥有 Mapping 和 MutableMapping 这两个抽象基类,它们为 dict 和其他类似的类型提供了接口定义. mu ...
iOS企业重签名管理软件之风车签名
这是一款在Mac平台下安全可控的iOS签名管理软件,旨在对签名后的APP能够完全控制,包括APP的开启或禁用.设置到期时间锁.注入第三方动态库文件.设置安装限量.修改APP名称和自定义Bundle I ...
Python数据类型--元组（tuple）
元组与列表非常相似,最大区别在于: (1)元组是不可修改的,定义之后就"固定"了. (2)元组在形式上是用()这样的圆括号括起来 (3)元组不能插入或删除元素注:元素可修改与不可 ...
springboot2.2.2企业级项目整合redis与redis 工具类大全
1.springboot2.2.2整合redis教程很多,为此编写了比较完整的redis工具类,符合企业级开发使用的工具类 2.springboot与redis maven相关的依赖 <depe ...

AC 自动机刷题记录

简介

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