P3160 [CQOI2012]局部极小值题解（状压DP+容斥）

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P3160 [CQOI2012]局部极小值

双倍经验，双倍快乐

解题思路

存下来每个坑（极小值点）的位置，以这个序号进行状态压缩。

显然，\(4*7\)的数据范围让极小值点在8个以内（以下示意）

X . X . X . X .

. . . . . . . .

X . X . X . X .

. . . . . . . .

所以考虑用\(S\)表示各个极小值点是否已填的状态，枚举\(1-n*m\)进行状压\(DP\)。

当前填的数有两种选择：

（\(1\)）填入坑中，这样枚举\(S\)状态表示的每一个已填的坑，\(f[i][S]+=\)\(\sum_{k|((1<<k)\&S==0)}^{} {f[i-1][S-(1<<k)]}\)（\(k\)表示第\(k\)个坑是没填过的）（这步的意思是：\(S-(1<<k)\)这个状态没有填\(k\)位置的坑，我现在\(i\)要填这个坑的种类数就是\(f[i-1][S-(1<<k)]\)）

（\(2\)）不填入坑中，这样枚举每一个点，如果可以填（指如果有坑还没填，那么他旁边以及他本身共\(9\)个格都不能填东西，否则这个坑继续往后填填不成极小值），那么就是一种新的填法，数出来\(tot\)种填法，那么\(dp[i][S]+=dp[i-1][S]*(tot-i+1)\)。然后发现枚举不是很好，可以进行预处理，处理出每一个状态对应的\(tot\)（代码中用\(hi[S]\)表示）。

然后答案就是\(f[m*n][(1<<num)-1]\)。（\(num\)代表坑的个数）

然后因为是胡乱填数，于是可能会出现不应该是坑的地方变成坑的情况，于是就在每个可能出现坑的地方分别新加一个坑进行\(DP\)，完了再减去。而这个\(DP\)又带来新的可能填的坑......而这就是个容斥问题了。

AC代码

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

char a[10];

int m,n,min[6][10];//描述整个矩阵

int num,x[30],y[30];//描述坑的个数、位置

int w=12345678;//膜

int dx[10]={-1,-1,-1,0,0,1,1,1,0};//移动位置

int dy[10]={-1,0,1,-1,1,-1,0,1,0};

int vis[6][10],f[29][(1<<8)+10],hi[1<<9];//dp用到的东西

int dp(){

	int i,j,k;

	memset(f,0,sizeof(f));

	f[0][0]=1;

	for(i=0;i<(1<<num);i++){//预处理出每个状态i对应的可填点数量

		hi[i]=n*m;

		memset(vis,0,sizeof(vis));

		for(j=0;j<num;j++)if(!(i&(1<<j)))for(k=0;k<9;k++)vis[x[j]+dx[k]][y[j]+dy[k]]=1;

		for(j=1;j<=n;j++)for(k=1;k<=m;k++)if(vis[j][k])hi[i]--;

	}

	for(i=1;i<=n*m;i++){//枚举填哪个数

		for(j=0;j<(1<<num);j++){//枚举状态

			if(hi[j]-i+1>0)f[i][j]+=f[i-1][j]*(hi[j]-i+1),f[i][j]%=w;

			for(k=0;k<num;k++)if((1<<k)&j)f[i][j]+=f[i-1][j^(1<<k)],f[i][j]%=w;

		}

	}

	return f[n*m][(1<<num)-1];

}

int dfs(int X,int Y){

	if(Y==m+1)X++,Y=1;

	if(X==n+1)return dp();

	int i,ans=dfs(X,Y+1);

	for(i=0;i<9;i++)if(min[X+dx[i]][Y+dy[i]])return ans;

	//如果没return说明这个地方是个可能变成坑的地方，那就把它变成坑dfs一下

	x[num]=X;y[num++]=Y;min[X][Y]=1;

	ans-=dfs(X,Y+1),ans=(ans+w)%w;

	min[X][Y]=0;num--;//别忘了变回去

	return ans;

}

int main(){

	int i,j;

	scanf("%d%d",&n,&m);

	for(i=1;i<=n;i++){

		scanf("%s",a+1);

		for(j=1;j<=m;j++)if(a[j]=='X'){

			min[i][j]=1;

			x[num]=i;y[num++]=j;

		}

	}

	for(i=0;i<num;i++)for(j=0;j<i;j++)if(abs(x[i]-x[j])<2&&abs(y[i]-y[j])<2)return printf("0"),0;

	if(!num)return printf("0"),0;

	printf("%d",dfs(1,1));

	return 0;

}