[Arc080F]Prime Flip

[Arc080F]Prime Flip

Description

你有无限多的“给给全”，编号为1,2,3,...。开始时，第x1,x2,...,xN个“给给全”是躺着的，其它的“给给全”是趴着的 你可以进行一些操作，每个操作大概是这样的： 选择一个不小于3的质数p，然后将连续的p个“给给全”翻过来 你希望让所有“给给全”趴下。请计算完成这一任务所需的最少操作次数

Input

第一行一个正整数N

第二行N个正整数，第i个数表示xi

Output

一个整数表示最小操作步数

Sample Input

Sample #1

2

4 5

Sample #2

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample #3

2

1 10000000

Sample Output

Sample #1

2

Sample #2

3

Sample #3

4

HINT

样例一可以先选择5，并翻转1,2,3,4,5。然后选择3，并翻转1,2,3

\(1\leq N \leq 100\)

\(1\leq x_1\leq x_2\leq ... \leq x_N\leq 10^7\)

试题分析

首先遇到这种翻转的问题，进行差分，因为这样可以把一段区间的操作看成简单的翻转\(i\)和\(i+p\)个状态的操作。

那么我们希望用最小的步骤使其最优，要怎么办呢？

首先列一个表出来，可以得出结论：1格需要翻转3遍，奇质数需要翻转1遍，偶数需要翻转2遍，奇合数需要翻转3遍。

其中结论1为手推，结论2为题目标准操作，结论3是哥德巴赫猜想，结论4是奇合数可以通过减去一个奇质数得到偶数长度。

于是我们就希望尽量先选翻转1遍的奇质数情况，一定是一奇一偶配对，使其配对数最大。

那么到这里做法就很显然了，直接二分图匹配，然后剩下的单算，注意最后剩1格的情况。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;
#define LL long long

inline int read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int INF = 2147483600;
const int MAXN = 10000010;

bool vis[MAXN+1];int pri[MAXN+1],cnt;
int flo[MAXN+1]; int N;
int sta[2][20010],top[2];
int Next[20010],Node[20010],Root[20010];

inline void init(){
    vis[1]=true;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!vis[i]) pri[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i*1LL<=MAXN;j++){
            vis[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) break;
        }
    } return ;
}
int fa[200010];
inline bool dfs(int k){
    for(int x=Root[k];x;x=Next[x]){
        int v=Node[x];
        if(!vis[v]){
            vis[v]=true;
            if(fa[v]==-1||dfs(fa[v])){
                fa[v]=k; return true;
            }
        }
    } return false;
}
inline void insert(int u,int v){
    Node[++cnt]=v; Next[cnt]=Root[u]; Root[u]=cnt; return ;
}

int main(){
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    for(int i=0;i<=MAXN;i++) flo[i]=1; N=read();
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int x=read(); flo[x]=0;
    } init(); for(int i=MAXN;i>=1;i--) {
        flo[i]=flo[i]-flo[i-1];
        if(flo[i]){
            sta[i&1][++top[i&1]]=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=top[0];i++){
        for(int j=1;j<=top[1];j++){
            if(!vis[abs(sta[0][i]-sta[1][j])]){
                insert(i,j+top[0]);
                //insert(j+top[0],i);
            }
        }
    } int ans=0;
    memset(fa,-1,sizeof(fa));
    for(int i=1;i<=top[0];i++){
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        ans+=dfs(i);
    }
    printf("%d\n",ans+(top[0]-ans)/2*2+(top[1]-ans)/2*2+((top[0]-ans)&1)*3LL);
    return 0;
}