[51nod1670] 打怪兽
lyk在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。
游戏的规则是这样的。
lyk一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽,若lyk的能量值>=怪兽的能量值,那么怪兽将会被打败,lyk的能量值增加1,否则lyk死亡,游戏结束。
若怪兽全部打完,游戏也将会结束。
共有n个怪兽,由于lyk比较弱,它一开始只有0点能量值。
n个怪兽排列随机,也就是说共有n!种可能,lyk想知道结束时它能量值的期望。
由于小数点比较麻烦,所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了!
第一行一个数n(1<=n<=100000)。
接下来一行n个数ai表示怪兽的能量(0<=ai<n)。
一行表示答案
2
0 1
2
可以发现一个性质,就是如果我们在第$i$局可以打第$j$个怪,那么在第$i+1$局活着的话可以打第$j$个怪。
那么我们设$f[i]$表示到第$i$轮还存活着的方案数。
显然可以递推$\large f[i] = f[i-1] \times \frac{sum[i-1]-i+1}{n-i+1}$.
$sum[i]$表示能量值小于等于$i$的怪的数量。
然后答案就是$\large \sum \left(f[i-1]-f[i] \right ) \times \left(i-1 \right)$。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
inline char gc() {
static const int BS = << ;
static unsigned char buf[BS], *st, *ed;
if (st == ed) ed = buf + fread(st = buf, , BS, stdin);
return st == ed ? EOF : *st++;
}
#define gc getchar
inline int read() {
int res = ;char ch=gc();bool fu=;
while(!isdigit(ch))fu|=(ch=='-'),ch=gc();
while(isdigit(ch))res=(res<<)+(res<<)+(ch^),ch=gc();
return fu?-res:res;
}
#define mod 1000000007
#define ll long long
int n;
int sum[];
ll f[];
inline ll ksm(ll x, ll y)
{
ll res = ;
while(y)
{
if (y & ) res = res * x % mod;
x = x * x % mod;
y >>= ;
}
return res;
}
int ans; int main()
{
n = read();
for (reg int i = ; i <= n ; i ++) sum[read()]++;
for (reg int i = ; i <= n ; i ++) sum[i] = sum[i - ] + sum[i];
f[] = ;
for (reg int i = ; i <= n ; i ++) f[] = f[] * i % mod;
for (reg int i = ; i <= n ; i ++)
f[i] = f[i - ] * (sum[i - ] - i + ) % mod * ksm(n - i + , mod - ) % mod;
for (reg int i = ; i <= n ; i ++)
ans = (ans + (f[i - ] - f[i]) * (i - )) % mod;
cout << (ans + f[n] * n) % mod << endl;
return ;
}
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