[置顶] 白话二分匹配之最大匹配+附上hdu2063解题报告

最近开始学习图论的二分匹配，关于最大匹配做一次小总结，希望自己后面回头来看一目明了，也对刚接触的人有帮助:

ps：开始有的文字很多....对于很多人来说一看到文字就烦啦...不过这个总结是针对匈牙利算法的总结，后面的匈牙利代码中有详细说明并结合图片说明，相信对刚接触的人会有帮助

个人觉得对于一个知识点最好是先知道这个”东东“是什么，然后在学习概念比较好，关于先知道是个什么“东东”--就是把这个知识点简单明了化，然后去了解其中令人头疼的概念！

关于二分匹配的最大匹配:

如果有G1、G2、G3三个女孩，B1。B2。B3三个男孩，有一天老师说要调整座位，就了解三个女孩的想法(想和哪一个男孩坐在一起----男孩的想法不考虑),G1说和三个男孩任何一个坐一起都喜欢，G2就说只想和B1坐一起，G3只想和 B2坐一起，那么老师改怎么安排座位，让尽可能多的女孩满意？这里就引入匹配：结合图形理解:

可以看到让G1和B3坐一起（配对/匹配）G2和B1一起，G3和B2一起，那么三个人都会满意，如果换成其他的方案，就不会是三个女孩都满意啦...那么这就是最大匹配

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在大概了解了最大匹配是什么东东之后，就有必要了解一些概念啦，推荐：基本概念术语

下面是关于求最大匹配的匈牙利算法：

令G = （X,*,Y）是一个二分图，其中，X = {x1,x2,...xm}, Y = {y1,y2,...yn}。令M为G中的任一个匹配。
1）讲X的所有不与M的边关联的顶点标上（@），并称所有的顶点为未被扫描的。转到 2）。
2）如果在上一步没有新的标记加到X的顶点上，则停止。否则转到 3）。
3）当存在X被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的X的顶点，比如，xi,用(xi)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到xi .现在，顶点xi是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到 4）。
4）如果在步骤 3）没有新的标记被标到Y的顶点上，则停止。否则，转到 5）。
5）当存在Y被标记但未被扫描的顶点时，选择Y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yi，用(yi)标记X的顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到yi.现在，顶点yi是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到 2）。
也可以叙述为：
[ZZ]匈牙利算法
关键在于匈牙利算法的递归过程中有很多重复计算的节点，而且这种重复无法避免，他不能向动态规划一样找到一个“序”将递归改为递推

下面结合hdu2063模板详细解释匈牙利算法：

题目和上面的座位匹配差不多

// 1216k 15ms
#include<stdio.h>
#include<string.h>

#define MAX 501

int map[MAX][MAX];//map[i][j]=1表示i想和j一起，为0就是没有想一起的想法
int link[MAX];//link[i]=t就表示和i配对/匹配的是t！这里注意i表示是i号男生和t号女生配对
int useif[MAX];//useif[i]只有1和0两个值，表示i是不是当前考虑要匹配的，为1就是当前考虑i要匹配
//看了几个定义之后就从main函数中开始看

int n,m,k;

bool dfs(int t)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)//这里对于女孩t，考虑每一个男生能否和t匹配
	{
		if(!useif[i] && map[t][i])//i号男生没有被考虑，并且t想和i一起
		{
			useif[i]=1;//标记考虑
			if(link[i] == -1 || dfs(link[i]))//如果i没有匹配的女生(link[i]=-1)或者--这个在开始有点难理解，后面给出一段话结合图片有助理解，这里只要明白这语句的意思是：if(t能和i匹配)
			{
				link[i]=t; return true;//能匹配就把link[i]更新为t，返回true
			}
		}
	}
	return false;
}

int match()
{
	int sum=0;
	memset(link,-1,sizeof(link));//匹配之前，每个人(题目中是男孩)匹配为-1
	for(int i=1;i<=m;i++)//这里，对于每一个女孩i，去选一个男孩匹配
	{
		memset(useif,0,sizeof(useif));//初始化对于女孩i，没有考虑任何男生
		if(dfs(i))//看i能不能从男生中选一个匹配，调用dfs
			sum++;//能匹配就产生一对啦....就加一
	}
	return sum;//返回能产生的对数
}

int main()
{
	while(scanf("%d",&k),k)
	{
		scanf("%d%d",&m,&n);
		int i,j;
		for(i=1;i<=m;i++)
			for(j=1;j<=n;j++)
				map[i][j]=0;//初始化都没有想法
		int a,b;
		for(i=0;i<k;i++)
		{
			scanf("%d%d",&a,&b);//对于每个a想和b一起就赋值map[a][b]=1
			map[a][b]=1;
		}
		printf("%d\n",match());//开始match匹配，调用match
	}
	return 0;
}

这里对于上面的if加以说明：

拿案例来说（左边的是女生的标号，右边是等待女生选择的男生标号）

1   1
1    2

1   3

2   1

2   3

3   1

最开始我们用女孩一号去匹配得到如下图：

然后我们对于G2去选择，此时我们依旧从1号男生开始考虑，因为useif[1]在女孩2开始匹配的时候初始化为0啦，并且女孩2也想和男孩1匹配，就标记useif[1]为正在考虑，然后发现link[1]=1(也就是1号男生被1号女生选走啦)但是，确定是否2号女孩能和1号男孩匹配的还有一个条件，就是dfs(link[1])，意思是看能不能把和1号男生匹配的1号女生再去选择另一个男生配对，那么这个函数调用，我们的女1号就选择的2号男生，所以，这里的2号女生就可以和1号男生在一起啦...(有图有真相):

-----那么，后面就是一样的啦...

二分匹配之最大匹配学习总结完毕.......