[转载]Matlab中fft与fftshift命令的小结与分析

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我们知道Fourier分析是信号处理里很重要的技术，matlab提供了强大的信号处理能力，但是有一些细节部分需要我们注意。

记信号f(t)的起始时间为t_start, 终止时间为t_end, 采样周期为t_s, 可以计算信号的持续时间Duration为 t_end – t_start, 信号离散化造成的采样点数 N = Duration/t_s + 1;

根据Fourier分析的相关结论，我们知道时域的采样将会造成频域的周期化，该周期为采样频率f_s（著名的香农采样定理基于此）.

于是， 经过matlab的fft函数处理后，得到数据的横坐标为0:f_s/(N-1):f_s。相关代码如下所示：

%matlab fft 测试代码

t_s = 0.01;
t_start = 0.5; t_end = 5;
t = t_start:t_s:t_end;
y = 0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y_f = fft(y);

subplot(3,1,1);
plot(t,y); title('original signal');

Duration = t_end - t_start;
Sampling_points = Duration/t_s + 1;

f_s = 1/t_s;
f_x = 0:f_s/(Sampling_points-1):f_s;

subplot(3,1,2);
plot(f_x,abs(y_f)); title('fft transform');

subplot(3,1,3);
plot(f_x-f_s/2,abs(fftshift(y_f))); title('shift fft transform');

也就是说，如果我们不使用fftshift，其变换后的横坐标为0:f_s/(N-1):f_s， 如果使用fftshift命令，0频率分量将会移到坐标中心，这也正是matlab中帮助中心给出的意思：对fft的坐标进行了处理。实际上由于频谱的周期性，我们这样做是合理的，可以接受的。

请读者特别要注意横坐标的差别。另外，根据函数的特性，频谱应当只有在15Hz，40Hz出现峰值，但是fft变换后在60Hz，及85Hz处同样出现了峰值，应当可以从fft的计算过程中得到相应的解释。

事实上，如果我们用15Hz，60Hz来测试fft变换，也即是 y = 0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi**t);图像如下所示，没有任何变化。

这种现象提醒我们，频率在f_s以内，即 0<f<f_s，f 以及 f_s – f 都有可能是测试信号的频率谱，这就给我们带来了歧义。并且从第三个子图也可以看出，这时候的fftshift会给我们带来错误的引导，也就是说，如果我们试图采样fft或者fftshift来分析信号的频率谱显得不那么靠谱了，matlab的fft谱线与信号的实际频率并不是一一对应的映射关系。这当然不是我们所期望看到的结果，所以实际分析信号时，有关这个问题需要额外的注意。

实际上，这也就间接地证明了Nyquist采样定理的合理性：采样频率要高于截止频率的两倍，上面的处理中我们所使用的采样频率为100Hz，于是当截止频率超过50Hz时，就会出现混叠效应，特殊情况就如上图所示：完全一样。于是，这也就告诉我们若要正确的显示频谱，需要仔细地考量采样频率与截止频率的关系，若太小，则有可能出现混叠，若太大，则计算代价过高。