机器学习算法实现解析——libFM之libFM的训练过程之Adaptive Regularization

本节主要介绍的是libFM源码分析的第五部分之二——libFM的训练过程之Adaptive Regularization的方法。

5.3、Adaptive Regularization的训练方法

5.3.1、SGD的优劣

在“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的训练过程之SGD的方法”中已经介绍了基于SGD的FM模型的训练方法，SGD的方法的最大优点是其训练过程很简单，只需在计算的过程中求解损失函数对每一个参数的偏导数，从而实现对模型参数的修改。

我们都知道，FM模型对正则化参数的选择比较敏感，在SGD的训练方法中，正则化参数是通过事先指定的，选择的优劣直接影响到训练的最终效果，那么，是否存在一种方法，能够自动选择正则化参数呢？此时，可以使用Adaptive Regularization的参数训练方法。

5.3.2、Adaptive Regularization方法的理论

对于SGD的方法，在学习的过程中，将损失函数l分别对常数项的参数w0，一次项的参数wi以及交叉项的参数wi求偏导，并利用梯度下降法更新模型中的对应参数，值得注意的是，这里的正则化参数是事先指定的，如常数项的正则化参数为λ0，一次项的正则化参数为λw以及交叉项的正则化参数为λf。基于SGD的训练过程如下所示：

Adaptive Regularization方法提出将正则化参数的选择过程融入到模型参数的修改过程中，达到同时修正模型的参数和正则化参数的过程。为了能够做到这点，首先需要将训练数据集S区分为用于训练模型的训练集ST和验证集SV，且S=ST∪SV。

已知FM模型可以表示为：

y^(x∣Θt+1):=wt+10+∑i=1nwt+1ixi+∑i=1n−1∑j=i+1n⟨vt+1i,vt+1j⟩xixj

其中，Θt+1表示的是第t+1代时所有模型参数的集合，包括：wt+10，wt+1i以及vt+1f。然而每一个参数都是由第t代时的参数经过SGD更新生成的，即：

wt+10=wt0−η⋅(∂l∂wt0+λ0wt0)

wt+1i=wti−η⋅(∂l∂wti+λwwti)

vt+1i,f=vti,f−η⋅(∂l∂vti,f+λfvti,f)

将上述的更新公式代入FM模型的计算公式中，得到：

y^(x∣Θt+1)=wt0−η⋅(∂l∂wt0+λ0wt0)+∑i=1nxi(wti−η⋅(∂l∂wti+λwwti))+∑i=1n−1∑j=i+1n∑f=1k[xi(vti,f−η⋅(∂l∂vti,f+λfvti,f))xj(vtj,f−η⋅(∂l∂vtj,f+λfvtj,f))]

当固定正则化参数λ0，λi以及λf时，与“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的训练过程之SGD的方法”中所述的SGD方法一致，此时，当更新完一遍模型的参数，此时，固定模型中的参数，并利用验证集SV和SGD方法更新正则化参数：

λt+1=λt−η⋅∂l∂λ

对于回归问题：

∂l∂λ=(y^(i)−y(i))⋅∂y^(i)∂λ

对于分类问题：

∂l∂λ=(σ(y^(i)y(i))−1)⋅y(i)⋅∂y^(i)∂λ

而∂y^(i)∂λ对于不同的λ，其值为：

∂y^(i)∂λ0=−ηwt0

∂y^(i)∂λi=−η∑i=1nwtixi

∂y^(i)∂λf=−η⎡⎣∑i=1nxivt+1i,f∑j=1nxjvtj,f−∑i=1nx2ivt+1i,fvti,f⎤⎦

那么，对于Adaptive Regularization的具体过程如下所示：

5.3.3、Adaptive Regularization方法的实现

Adaptive Regularization方法也是一种基于梯度的方法，因此其实现类fm_learn_sgd_element_adapt_reg类也继承自fm_learn_sgd类，其类之间的关系如下图所示：

Adaptive Regularization方法的实现在文件fm_learn_sgd_element_adapt_reg.h中，文件fm_learn_sgd_element_adapt_reg.h中实现了fm_learn_sgd_element_adapt_reg类，该类继承自fm_learn_sgd类，在fm_learn_sgd_element_adapt_reg类中，最重要的函数为learn函数，用于训练FM模型。函数的具体代码如下所示：

// self-adaptive-regularization 的训练
virtual void learn(Data& train, Data& test) {
    fm_learn_sgd::learn(train, test);// 输出一些训练信息，继承自fm_learn_sgd类中的方法

    std::cout << "Training using self-adaptive-regularization SGD."<< std::endl << "DON'T FORGET TO SHUFFLE THE ROWS IN TRAINING AND VALIDATION DATA TO GET THE BEST RESULTS." << std::endl; 

    // make sure that fm-parameters are initialized correctly (no other side effects)
    // 确保初始化的过程
    fm->w.init(0);
    fm->reg0 = 0;
    fm->regw = 0;
    fm->regv = 0; 

    // start with no regularization
    // 正则化参数的初始化，全部初始化为0
    reg_w.init(0.0);
    reg_v.init(0.0);

    // 打印输出信息，包括训练样本点的条数和验证样本的条数
    std::cout << "Using " << train.data->getNumRows() << " rows for training model parameters and " << validation->data->getNumRows() << " for training shrinkage." << std::endl;

    // 基于梯度的训练过程
    for (int i = 0; i < num_iter; i++) {// 开始每一轮的迭代
        double iteration_time = getusertime();
        // SGD-based learning: both lambda and theta are learned
        // 分为lambda step和theta step
        update_means();// 计算均值和方差
        validation->data->begin();// 将验证集的指针指向开始位置
        for (train.data->begin(); !train.data->end(); train.data->next()) {
            // 计算theta相关，更新theta中的参数
            // 利用训练集训练和更新模型的参数，此时模型中的正则化参数是固定的
            sgd_theta_step(train.data->getRow(), train.target(train.data->getRowIndex()));

            // 当i=0时，不需要更新lambda
            if (i > 0) { // make no lambda steps in the first iteration, because some of the gradients (grad_theta) might not be initialized.
                // 每次只使用validation中的一条样本
                if (validation->data->end()) {
                    update_means();// 计算均值和方差
                    validation->data->begin();// 将验证集的指针指向开始位置
                }
                // 计算lambda相关，更新lambda中的参数
                // 利用验证集更新正则化参数，此时模型中的参数是固定的
                sgd_lambda_step(validation->data->getRow(), validation->target(validation->data->getRowIndex()));
                validation->data->next();// 将验证集的指针指向下一条样本
            }
        }                               

        // (3) Evaluation
        iteration_time = (getusertime() - iteration_time);
        // 评价函数
        double rmse_val = evaluate(*validation);// 对验证集进行评测
        double rmse_train = evaluate(train);// 对训练集进行评测
        double rmse_test = evaluate(test);// 对测试集进行评测
        // 打印输出模型的评估结果
        std::cout << "#Iter=" << std::setw(3) << i << "\tTrain=" << rmse_train << "\tTest=" << rmse_test << std::endl;
        // 日志输出
        if (log != NULL) {
            // log 输出均值和方差
            log->log("wmean", mean_w);
            log->log("wvar", var_w);
            for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
                {
                    std::ostringstream ss;
                    ss << "vmean" << f;
                    log->log(ss.str(), mean_v(f));
                }
                {
                    std::ostringstream ss;
                    ss << "vvar" << f;
                    log->log(ss.str(), var_v(f));
                }
            }
            // log 输出正则化参数
            for (uint g = 0; g < meta->num_attr_groups; g++) {
                {
                    std::ostringstream ss;
                    ss << "regw[" << g << "]";
                    log->log(ss.str(), reg_w(g));
                }
                for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
                    {
                        std::ostringstream ss;
                        ss << "regv[" << g << "," << f << "]";
                        log->log(ss.str(), reg_v(g,f));
                    }
                }
            }
            // log输出训练时间和评估效果
            log->log("time_learn", iteration_time);
            log->log("rmse_train", rmse_train);
            log->log("rmse_val", rmse_val);
            log->newLine();
        }
    }
}

根据上面的理论分析，Adaptive Regularization方法的学习过程分为两步：

• 固定正则化参数，利用训练集学习更新FM模型中的参数；
• 固定FM模型的参数，利用验证集学习更新正则化参数。

这两个过程可由下图表示：

在代码的实现过程中，sgd_theta_step函数负责对FM模型中的参数进行学习和更新；sgd_lambda_step函数负责对正则化参数进行学习和更新。sgd_theta_step函数的具体代码如下所示：

// 计算theta相关，更新theta中的参数
void sgd_theta_step(sparse_row<FM_FLOAT>& x, const DATA_FLOAT target) {
    double p = fm->predict(x, sum, sum_sqr);// 得到样本的预测值，在fm_model中
    double mult = 0;
    // 区分分类问题还是回归问题
    if (task == 0) {
        p = std::min(max_target, p);
        p = std::max(min_target, p);
        mult = 2 * (p - target);// 梯度值的一部分
    } else if (task == 1) {
        mult = target * (  (1.0/(1.0+exp(-target*p))) - 1.0 );// 梯度值的一部分
    }

    // make the update with my regularization constants:
    // 更新每一部分的参数
    // 1、更新常数项的权重
    if (fm->k0) {
        double& w0 = fm->w0;// 常数项的权重
        double grad_0 = mult;// 梯度值
        w0 -= learn_rate * (grad_0 + 2 * reg_0 * w0);// 更新常数项的权重
    }
    // 2、更新一次项的权重
    if (fm->k1) {
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            uint g = meta->attr_group(x.data[i].id);// 取得参数对应的分组的编号
            double& w = fm->w(x.data[i].id);// 得到模型的对应一次项的参数
            grad_w(x.data[i].id) = mult * x.data[i].value;// 一次项的梯度值
            w -= learn_rate * (grad_w(x.data[i].id) + 2 * reg_w(g) * w);// 更新一次项的权重值
        }
    }
    // 3、更新交叉项的权重
    for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            uint g = meta->attr_group(x.data[i].id);// 取得参数对应的分组的编号
            double& v = fm->v(f,x.data[i].id);// 取得模型的对应交叉项的参数
            grad_v(f,x.data[i].id) = mult * (x.data[i].value * (sum(f) - v * x.data[i].value)); // grad_v_if = (y(x)-y) * [ x_i*(\sum_j x_j v_jf) - v_if*x^2 ]  // 交叉项的梯度值
            v -= learn_rate * (grad_v(f,x.data[i].id) + 2 * reg_v(g,f) * v);// 更新交叉项的权重值
        }
    }
}

在计算的过程中，利用fm_model类中的predict函数计算当前的预测值，根据回归问题或者分类问题，计算其损失函数的梯度值，如回归时为：

∂l∂θ=2(y^(i)−y(i))⋅∂y^(i)∂θ

并将2(y^(i)−y(i))作为变量mult的值。分类时为：

∂l∂θ=(σ(y^(i)y(i))−1)⋅y(i)⋅∂y^(i)∂θ

并将(σ(y^(i)y(i))−1)⋅y(i)作为变量mult的值。

在计算完变量mult的值后，分别对常数项，一次项以及交叉项的参数利用梯度下降的方法进行更新，对于上述∂y^∂θ为：

∂y^∂θ=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1xixi(∑j=1xjvj,f−xivi,f) if θ=w0 if θ=wi if θ=vi,f

利用梯度下降的方法更新的过程为：

θ=θ−η⋅(∂l∂θ+2λθ)

在libFM的实现过程中，对正则化参数进行了分组，分组的概念如下图所示：

假设有7个参数，标号分别为{0,1,2,3,4,5,6,7}，假设将0和1划分到一个分组中，如下图中的2标号，同理，将2，6划分到一个分组，将3，4，5划分到一个分组中，对于同一个分组，其拥有一个单独的正则化参数。这样就能够减少正则化参数的个数。

第二个重要的部分是sgd_lambda_step函数，其具体的代码如下所示：

// 计算lambda相关，更新lambda中的参数
void sgd_lambda_step(sparse_row<FM_FLOAT>& x, const DATA_FLOAT target) {
    double p = predict_scaled(x);// 扩展后的预测值
    double grad_loss = 0;
    // 区分两类问题：回归问题和分类问题
    if (task == 0) {// 回归问题
        p = std::min(max_target, p);
        p = std::max(min_target, p);
        grad_loss = 2 * (p - target);
    } else if (task == 1) {// 分类问题
        grad_loss = target * ( (1.0/(1.0+exp(-target*p))) -  1.0);
    }       

    // 1、更新一次项的正则化参数
    if (fm->k1) {
        lambda_w_grad.init(0.0);// 初始化
        // 将累加和分配到每一个分组中
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            uint g = meta->attr_group(x.data[i].id);// 取得当前特征对应的正则化参数的索引
            lambda_w_grad(g) += x.data[i].value * fm->w(x.data[i].id);// 在对应的分组中计算累加和
        }
        // 修改每一个分组内的正则化参数
        for (uint g = 0; g < meta->num_attr_groups; g++) {
            lambda_w_grad(g) = -2 * learn_rate * lambda_w_grad(g);
            reg_w(g) -= learn_rate * grad_loss * lambda_w_grad(g);
            reg_w(g) = std::max(0.0, reg_w(g));// 对修改后的正则化参数容错，防止其小于0
        }
    }

    // 2、更新交叉项的正则化参数
    for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
        // grad_lambdafg = (grad l(y(x),y)) * (-2 * alpha * (\sum_{l} x_l * v'_lf) * (\sum_{l \in group(g)} x_l * v_lf) - \sum_{l \in group(g)} x^2_l * v_lf * v'_lf)
        // sum_f_dash      := \sum_{l} x_l * v'_lf, this is independent of the groups
        // sum_f(g)        := \sum_{l \in group(g)} x_l * v_lf
        // sum_f_dash_f(g) := \sum_{l \in group(g)} x^2_l * v_lf * v'_lf
        double sum_f_dash = 0.0;
        sum_f.init(0.0);
        sum_f_dash_f.init(0.0);

        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            // v_if' =  [ v_if * (1-alpha*lambda_v_f) - alpha * grad_v_if]
            uint g = meta->attr_group(x.data[i].id);// 取得当前特征对应的正则化参数的索引
            double& v = fm->v(f,x.data[i].id);// 取得模型的对应交叉项的参数
            double v_dash = v - learn_rate * (grad_v(f,x.data[i].id) + 2 * reg_v(g,f) * v);

            // 更新公式中的三项
            sum_f_dash += v_dash * x.data[i].value;
            sum_f(g) += v * x.data[i].value;
            sum_f_dash_f(g) += v_dash * x.data[i].value * v * x.data[i].value;
        }
        // 对每一个分组中的正则化参数更新
        for (uint g = 0; g < meta->num_attr_groups; g++) {
            double lambda_v_grad = -2 * learn_rate *  (sum_f_dash * sum_f(g) - sum_f_dash_f(g));
            reg_v(g,f) -= learn_rate * grad_loss * lambda_v_grad;
            reg_v(g,f) = std::max(0.0, reg_v(g,f));// 对修改后的正则化参数容错，防止其小于0
        }
    }
}

sgd_lambda_step函数是在固定FM模型参数的前提下，利用验证数据集对每个分组中的正则化参数进行学习和更新。在这个过程中，首先是需要计算扩展后的预测值，即在利用更新后的FM模型的参数进行预测：

y^(x∣Θt+1)=wt0−η⋅(∂l∂wt0+λ0wt0)+∑i=1nxi(wti−η⋅(∂l∂wti+λwwti))+∑i=1n−1∑j=i+1n∑f=1k[xi(vti,f−η⋅(∂l∂vti,f+λfvti,f))xj(vtj,f−η⋅(∂l∂vtj,f+λfvtj,f))]

其具体的计算过程如predict_scaled函数所示：

// 扩展后的预测值，是指在模型的预测值中增加了正则项
double predict_scaled(sparse_row<FM_FLOAT>& x) {
    double p = 0.0;// 最终的预测值
    // 1、常数项
    if (fm->k0) {
        p += fm->w0;// 常数项，注意这边并没有对常数项增加正则
    }
    // 2、一次项
    if (fm->k1) {
        // 累加每一维特征项
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            assert(x.data[i].id < fm->num_attribute);// 特征的维度的容错
            uint g = meta->attr_group(x.data[i].id);// 取得当前特征对应的正则化参数的索引
            double& w = fm->w(x.data[i].id);// 取得当前的权重
            double w_dash = w - learn_rate * (grad_w(x.data[i].id) + 2 * reg_w(g) * w);// 更新权重
            p += w_dash * x.data[i].value; // 累加计算
        }
    }
    // 3、交叉项
    for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
        // sum和sum_sqr分别对应着交叉项计算中的两项
        sum(f) = 0.0;
        sum_sqr(f) = 0.0;
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            uint g = meta->attr_group(x.data[i].id);// 取得当前特征对应的正则化参数的索引
            double& v = fm->v(f,x.data[i].id);// 取得模型的对应交叉项的参数
            double v_dash = v - learn_rate * (grad_v(f,x.data[i].id) + 2 * reg_v(g,f) * v);// 更新交叉项的参数
            double d = v_dash * x.data[i].value;
            sum(f) += d;
            sum_sqr(f) += d*d;
        }
        p += 0.5 * (sum(f)*sum(f) - sum_sqr(f));
    }
    return p;
}

注意：在libFM的实现中，并没有对模型的常数项增加正则项，因此在更新正则项参数时也不需要更新常数项的正则化参数。

对预测值的计算，可以参见“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的模型处理部分”。

计算完扩展的预测值后，便开始计算损失函数对正则化参数的梯度，并对其进行更新，更新的详细步骤参见“5.3.2、Adaptive Regularization方法的理论”中的讲解。

除了上述的重要的过程外，在fm_learn_sgd_element_adapt_reg类中还提供了如下的几个函数：

• 初始化init函数

// 初始化函数，比SGD中初始化更多的参数
virtual void init() {
    fm_learn_sgd::init();

    reg_0 = 0;// 常数项的正则化参数的初始化
    reg_w.setSize(meta->num_attr_groups);// 一次项的正则化参数
    reg_v.setSize(meta->num_attr_groups, fm->num_factor);// 交叉项的正则化参数

    // 交叉项的均值和方差
    mean_v.setSize(fm->num_factor);
    var_v.setSize(fm->num_factor);

    // 一次项的梯度的初始化
    grad_w.setSize(fm->num_attribute);
    // 交叉项的梯度的初始化
    grad_v.setSize(fm->num_factor, fm->num_attribute);
    grad_w.init(0.0);
    grad_v.init(0.0);

    lambda_w_grad.setSize(meta->num_attr_groups);// 正则化参数的梯度
    // 更新lambda时使用到的变量
    sum_f.setSize(meta->num_attr_groups);
    sum_f_dash_f.setSize(meta->num_attr_groups);

    // 日志文件
    if (log != NULL) {
        log->addField("rmse_train", std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
        log->addField("rmse_val", std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());    

        log->addField("wmean", std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
        log->addField("wvar", std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
        for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
            {
                std::ostringstream ss;
                ss << "vmean" << f;
                log->addField(ss.str(), std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
            }
            {
                std::ostringstream ss;
                ss << "vvar" << f;
                log->addField(ss.str(), std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
            }
        }
        for (uint g = 0; g < meta->num_attr_groups; g++) {
            {
                std::ostringstream ss;
                ss << "regw[" << g << "]";
                log->addField(ss.str(), std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
            }
            for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
                {
                    std::ostringstream ss;
                    ss << "regv[" << g << "," << f << "]";
                    log->addField(ss.str(), std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
                }
            }
        }
    }
}

init函数主要用于对一些变量的初始化。

• update_means函数

// 初始化相关
void update_means() {
    // 均值和方差
    mean_w = 0;
    mean_v.init(0);
    var_w = 0;
    var_v.init(0);
    // 1、计算w的均值和方差
    for (uint j = 0; j < fm->num_attribute; j++) {
        mean_w += fm->w(j);

        var_w += fm->w(j)*fm->w(j);

        for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
            mean_v(f) += fm->v(f,j);
            var_v(f) += fm->v(f,j)*fm->v(f,j);
        }
    }
    mean_w /= (double) fm->num_attribute;// 计算均值
    var_w = var_w/fm->num_attribute - mean_w*mean_w;// 计算方差

    // 2、计算v的均值和方差
    for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
        mean_v(f) /= fm->num_attribute;
        var_v(f) = var_v(f)/fm->num_attribute - mean_v(f)*mean_v(f);
    }

    // 3、重新置均值为0
    mean_w = 0;
    for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
        mean_v(f) = 0;
    }
}

update_means函数用于对模型的参数求方差，这整个训练过程中并不起作用，只是为了log输出作为参考。

• debug函数

// debug打印输出
void debug() {
    std::cout << "method=sgda" << std::endl;
    fm_learn_sgd::debug();
}

参考文献

• Rendle S. Factorization Machines[C]// IEEE International Conference on Data Mining. IEEE Computer Society, 2010:995-1000.
• Rendle S. Factorization Machines with libFM[M]. ACM, 2012.
• Rendle S. Learning recommender systems with adaptive regularization[C]// ACM International Conference on Web Search and Data Mining. ACM, 2012:133-142.