谈谈"求线段交点"的几种算法(js实现,完整版)

"求线段交点"是一种非常基础的几何计算, 在很多游戏中都会被使用到. 
下面我就现学现卖的把最近才学会的一些"求线段交点"的算法总结一下, 希望对大家有所帮助. 
本文讲的内容都很初级, 主要是面向和我一样的初学者, 所以请各位算法帝们轻拍啊 嘎嘎

引用

已知线段1(a,b) 和线段2(c,d) ,其中a b c d为端点, 求线段交点p .(平行或共线视作不相交)

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算法一: 求两条线段所在直线的交点, 再判断交点是否在两条线段上.

求直线交点时 我们可通过直线的一般方程 ax+by+c=0 求得(方程中的abc为系数,不是前面提到的端点,另外也可用点斜式方程和斜截式方程,此处暂且不论). 
然后根据交点的与线段端点的位置关系来判断交点是否在线段上. 公式如下图:

实现代码如下 :

1. function segmentsIntr(a, b, c, d){
2. /** 1 解线性方程组, 求线段交点. **/
3. // 如果分母为0 则平行或共线, 不相交
4. var denominator = (b.y - a.y)*(d.x - c.x) - (a.x - b.x)*(c.y - d.y);
5. if (denominator==0) {
6. return false;
7. }
8. // 线段所在直线的交点坐标 (x , y)
9. var x = ( (b.x - a.x) * (d.x - c.x) * (c.y - a.y)
10. + (b.y - a.y) * (d.x - c.x) * a.x
11. - (d.y - c.y) * (b.x - a.x) * c.x ) / denominator ;
12. var y = -( (b.y - a.y) * (d.y - c.y) * (c.x - a.x)
13. + (b.x - a.x) * (d.y - c.y) * a.y
14. - (d.x - c.x) * (b.y - a.y) * c.y ) / denominator;
15. /** 2 判断交点是否在两条线段上 **/
16. if (
17. // 交点在线段1上
18. (x - a.x) * (x - b.x) <= 0 && (y - a.y) * (y - b.y) <= 0
19. // 且交点也在线段2上
20. && (x - c.x) * (x - d.x) <= 0 && (y - c.y) * (y - d.y) <= 0
21. ){
22. // 返回交点p
23. return {
24. x :  x,
25. y :  y
26. }
27. }
28. //否则不相交
29. return false
30. }

算法一思路比较清晰易懂, 但是性能并不高. 因为它在不确定交点是否有效(在线段上)之前, 就先去计算了交点, 耗费了较多的时间. 
如果最后发现交点无效, 那么之前的计算就白折腾了. 而且整个计算的过程也很复杂. 
那么有没有一种思路,可以让我们先判断是否存在有效交点,然后再去计算它呢? 
显然答案是肯定的. 于是就有了后面的一些算法.

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算法二: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧, 是则求出两条线段所在直线的交点, 否则不相交.

第一步判断两个点是否在某条线段的两侧, 通常可采用投影法:

求出线段的法线向量, 然后把点投影到法线上, 最后根据投影的位置来判断点和线段的关系. 见下图

点a和点b在线段cd法线上的投影如图所示, 这时候我们还要做一次线段cd在自己法线上的投影(选择点c或点d中的一个即可). 
主要用来做参考. 
图中点a投影和点b投影在点c投影的两侧, 说明线段ab的端点在线段cd的两侧.

同理, 再判断一次cd是否在线段ab两侧即可.

求法线 , 求投影 什么的听起来很复杂的样子, 实际上对于我来说也确实挺复杂,在几个月前我也不会(念书那会儿的几何知识都忘光了 :'( )' 
不过好在学习和实现起来还不算复杂, 皆有公式可循:

求线段ab的法线:

1. var nx=b.y - a.y,
2. ny=a.x - b.x;
3. var normalLine = {  x: nx, y: ny };

注意: 其中 normalLine.x和normalLine.y的几何意义表示法线的方向, 而不是坐标.

求点c在法线上的投影位置:

1. var dist= normalLine.x*c.x + normalLine.y*c.y;

注意: 这里的"投影位置"是一个标量, 表示的是到法线原点的距离, 而不是投影点的坐标. 
通常知道这个距离就足够了.

当我们把图中 点a投影(distA),点b投影(distB),点c投影(distC) 都求出来之后, 就可以很容易的根据各自的大小判断出相对位置.

distA==distB==distC 时, 两条线段共线 
distA==distB!=distC 时, 两条线段平行 
distA 和 distB 在distC 同侧时, 两条线段不相交. 
distA 和 distB 在distC 异侧时, 两条线段是否相交需要再判断点c点d与线段ab的关系.

前面的那些步骤, 只是实现了"判断线段是否相交", 当结果为true时, 我们还需要进一步求交点. 
求交点的过程后面再说, 先看一下该算法的完整实现 :

1. function segmentsIntr(a, b, c, d){
2. //线段ab的法线N1
3. var nx1 = (b.y - a.y), ny1 = (a.x - b.x);
4. //线段cd的法线N2
5. var nx2 = (d.y - c.y), ny2 = (c.x - d.x);
6. //两条法线做叉乘, 如果结果为0, 说明线段ab和线段cd平行或共线,不相交
7. var denominator = nx1*ny2 - ny1*nx2;
8. if (denominator==0) {
9. return false;
10. }
11. //在法线N2上的投影
12. var distC_N2=nx2 * c.x + ny2 * c.y;
13. var distA_N2=nx2 * a.x + ny2 * a.y-distC_N2;
14. var distB_N2=nx2 * b.x + ny2 * b.y-distC_N2;
15. // 点a投影和点b投影在点c投影同侧 (对点在线段上的情况,本例当作不相交处理);
16. if ( distA_N2*distB_N2>=0  ) {
17. return false;
18. }
19. //
20. //判断点c点d 和线段ab的关系, 原理同上
21. //
22. //在法线N1上的投影
23. var distA_N1=nx1 * a.x + ny1 * a.y;
24. var distC_N1=nx1 * c.x + ny1 * c.y-distA_N1;
25. var distD_N1=nx1 * d.x + ny1 * d.y-distA_N1;
26. if ( distC_N1*distD_N1>=0  ) {
27. return false;
28. }
29. //计算交点坐标
30. var fraction= distA_N2 / denominator;
31. var dx= fraction * ny1,
32. dy= -fraction * nx1;
33. return { x: a.x + dx , y: a.y + dy };
34. }

最后 求交点坐标的部分 所用的方法看起来有点奇怪, 有种摸不着头脑的感觉. 
其实它和算法一 里面的算法是类似的,只是里面的很多计算项已经被提前计算好了. 
换句话说, 算法二里求交点坐标的部分 其实也是用的直线的线性方程组来做的.

现在来简单粗略 很不科学的对比一下算法一和算法二: 
1 最好情况下, 两种算法的复杂度相同 
2 最坏情况, 算法一和算法二的计算量差不多 
3 但是算法二提供了 更多的"提前结束条件",所以平均情况下,应该算法二更优.

实际测试下来, 实际情况也确实如此.

前面的两种算法基本上是比较常见的可以应付绝大多数情况. 但是事实上还有一种更好的算法. 
这也是我最近才新学会的(我现学现卖了,大家不要介意啊...)

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算法三: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧, 是则求出两条线段所在直线的交点, 否则不相交.

(咦? 怎么感觉和算法二一样啊? 不要怀疑 确实一样 ... 囧) 
所谓算法三, 其实只是对算法二的一个改良, 改良的地方主要就是 : 
不通过法线投影来判断点和线段的位置关系, 而是通过点和线段构成的三角形面积来判断.

先来复习下三角形面积公式: 已知三角形三点a(x,y) b(x,y) c(x,y), 三角形面积为:

1. var triArea=( (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x) ) /2 ;

因为 两向量叉乘==两向量构成的平行四边形(以两向量为邻边)的面积 , 所以上面的公式也不难理解. 
而且由于向量是有方向的, 所以面积也是有方向的, 通常我们以逆时针为正, 顺时针为负数.

改良算法关键点就是: 
如果"线段ab和点c构成的三角形面积"与"线段ab和点d构成的三角形面积" 构成的三角形面积的正负符号相异, 
那么点c和点d位于线段ab两侧. 如下图所示:

图中虚线所示的三角形, 缠绕方向(三边的定义顺序)不同, 所以面积的正负符号不同.

下面还是先看代码: 
由于我们只要判断符号即可, 所以前面的三角形面积公式我们就不需要后面的 除以2 了.

1. function segmentsIntr(a, b, c, d){
2. // 三角形abc 面积的2倍
3. var area_abc = (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x);
4. // 三角形abd 面积的2倍
5. var area_abd = (a.x - d.x) * (b.y - d.y) - (a.y - d.y) * (b.x - d.x);
6. // 面积符号相同则两点在线段同侧,不相交 (对点在线段上的情况,本例当作不相交处理);
7. if ( area_abc*area_abd>=0 ) {
8. return false;
9. }
10. // 三角形cda 面积的2倍
11. var area_cda = (c.x - a.x) * (d.y - a.y) - (c.y - a.y) * (d.x - a.x);
12. // 三角形cdb 面积的2倍
13. // 注意: 这里有一个小优化.不需要再用公式计算面积,而是通过已知的三个面积加减得出.
14. var area_cdb = area_cda + area_abc - area_abd ;
15. if (  area_cda * area_cdb >= 0 ) {
16. return false;
17. }
18. //计算交点坐标
19. var t = area_cda / ( area_abd- area_abc );
20. var dx= t*(b.x - a.x),
21. dy= t*(b.y - a.y);
22. return { x: a.x + dx , y: a.y + dy };
23. }

最后 计算交点坐标的部分 和算法二同理.

算法三在算法二的基础上, 大大简化了计算步骤, 代码也更精简. 可以说,是三种算法里, 最好的.实际测试结果也是如此.

当然必须坦诚的来说, 在Javascript里, 对于普通的计算, 三种算法的时间复杂度其实是差不多的(尤其是V8引擎下). 
我的测试用例里也是进行变态的百万次级别的线段相交测试 才能拉开三种算法之间的差距.

不过本着精益求精 以及学习的态度而言, 追求一个更好的算法, 总是有其积极意义的.

好了 不啰嗦了, 就到这里吧. 
现学现卖的东西, 难免有错误, 还请大家不吝斧正. 先谢谢啦

补充: 
后来微博上@miloyip (这个是真正的大牛, 是会自己写3D引擎的人哦 )还推荐了另外一种更好的算法, 不过我还没有理解透彻. 
等我学会了 再来和大家分享