洛谷P1404 平均数 [01分数规划，二分答案]

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平均数

题目描述

给一个长度为n的数列，我们需要找出该数列的一个子串，使得子串平均数最大化，并且子串长度>=m。

输入输出格式

输入格式：

N+1行，

第一行两个整数n和m

接下来n行，每行一个整数a[i],表示序列第i个数字

输出格式：

一个整数，他是最大平均数的1000倍，如果末尾有小数，直接舍去，不要用四舍五入求整。

输入输出样例

输入样例#1：

10 6
6
4
2
10
3
8
5
9
4
1

输出样例#1：

6500

说明

【数据范围】

60% M<=N<=10000

100% M<=N<=100000 0<=a[i]<=2000

---

　　分析：

　　一道01规划的题，但是之前都没有学过这玩意儿（太懒了），于是今天考试就暴力水了点分。。。

　　依题目要求，我们先二分答案，令$mid$为要验证的中位数，然后就是判断是否存在一个长度不小于$m$的子序列和使得其平均数大于$mid$，但是显然这样的话很不方便，那么转化一下。判断的时候我们先用一个前缀和搞一下，令$s[i]=s[i-1]+(a[i]-mid)$，也就是说，$s[i]$是$a[i]-mid$的前缀和，那么我们也就可以知道，如果要令mid满足条件，实际上也就是要存在一段区间$[x,y]$使得$s[y]-s[x-1]>=0$，这个式子等价于$(\sum a[i])-mid*(y-x+1),i\in [x,y]$。而且我们可以知道如果当前区间的右端点为$y$，那么左端点可以是$[1,y-m+1]$中的任意一个，这样子的话我们对于一个右段点$y$，我们只需要看$[1,y-m+1]$中最小的那个值就可以了，也就是只看$sum[y]-min\{sum[x]\},x\in [1,y-m+1]$是否大于零。

　　Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=1e9;
const int N=1e5+;
ll n,m,a[N],s[N],ans;
inline ll read()
{
    char ch=getchar();ll num=;
    while(ch<''||ch>'')ch=getchar();
    while(ch>=''&&ch<=''){
    num=num*+ch-'';ch=getchar();}
    return num;
}
inline bool check(ll mid)
{
    for(ll i=;i<=n;i++)
    s[i]=s[i-]+(a[i]-mid);
    ll last=;
    for(ll i=m;i<=n;i++){
        if(s[i]-last>=)return true;
        last=min(last,s[i-m+]);}
    return false;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    ll l=,r=-;
    for(int i=;i<=n;i++){
    a[i]=read(),a[i]*=;
    r=max(r,a[i]);}
    while(l<=r){
        ll mid=(l+r)>>;
        if(check(mid))l=mid+,ans=mid;
        else r=mid-;}
    printf("%lld",ans);
    return ;
}