Luogu4609 FJOI2016 建筑师 第一类斯特林数
题意:给出$N$个高度从$1$到$N$的建筑,问有多少种从左往右摆放这些建筑的方法,使得从左往右看能看到$A$个建筑,从右往左看能看到$B$个建筑。$N \leq 5 \times 10^4 , A,B \leq 100$
第一次看到第一类$Stirling$数有用emmm
考虑将某种方案中最高的建筑拿出来,将分成的两半中可以看得见的与被它挡住的建筑分成一个部分,如下
绿色的当然是最高的,剩下的两个部分分成了1,2,3三个部分。可以知道我们总共需要$A+B-2$这样的部分,而其中$A-1$个放在左边,$B-2$个放在右边,所以答案中会有一项$C_{A+B-2}^{A-1}$
考虑如何产生这$A+B-2$个部分。可以发现每一个部分的产生就是一个圆桌排列的产生(相当于在圆桌排列上选择高度最高的建筑,将其拉成一条线,而同一圆桌排列得到的建筑的部分是一样的),所以我们需要让$N-1$个建筑产生$A+B-2$个圆桌排列,也就是$S_{N-1}^{A+B-2}$
又因为圆桌排列扯成一个排列的方式只有一种,且划分左右之后,排列方式也只有一种,所以答案就是$$C_{A+B-2}^{A-1} \times S_{N-1}^{A+B-2}$$
预处理$50000 \times 200$的$Stirling$数和$200 \times 200$的组合数就好
注意:$S_0^0=C_{0}^{0} = 1$
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; ; ll Stir[][] , yh[][]; int main(){ yh[][] = Stir[][] = ; ; i <= ; i++){ yh[i][] = ; ; j <= i ; j++) yh[i][j] = (yh[i - ][j - ] + yh[i - ][j]) % MOD; } ; i <= ; i++) ; j <= i && j <= ; j++) Stir[i][j] = (Stir[i - ][j - ] + Stir[i - ][j] * (i - )) % MOD; int K; for(cin >> K ; K ; K--){ int a , b , c; cin >> a >> b >> c; cout << Stir[a - ][b + c - ] * yh[b + c - ][b - ] % MOD << endl; } ; }
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