UOJ33 [UR #2] 树上GCD 【点分治】【容斥原理】【分块】

题目分析：

树上点对问题首先想到点分治。假设我们进行了点分治并递归地解决了子问题。现在我们合并问题。

我们需要找到所有经过当前重心$ c $的子树路径。第一种情况是LCA为当前重心$ c $。考虑以$ 1 $为根的$ c $的子树。那么首先在子问题中先斥掉不经过$ c $的路径。然后对于$ c $的子树处理出距离数组。用桶存储。

从大到小枚举最大公因数$ d $，求出所有距离为$ d $倍数的点的个数。然后做乘法得到$ num1 $。再考虑$ num1 $中GCD不等于$ d $的数有哪些。实际上我们早就计算出了GCD为$ d $的倍数的情况了，只需要把这一部分斥掉就行了。所以处理$ c $的子树的点对的时间复杂度是$ O(nlogn) $。

再考虑$ c $的祖先的儿子到$ c $的子树中的点的情况。不难想到类似的处理方法。开个桶存储距离。由于点分治的特性。我们很容易就可以证明这样所有桶的最大值之和是不会超过$ O(n) $的。这样枚举的时间复杂度是有保障的。对于$ c $的某个祖先的子树中的点，枚举GCD为$ d $。 那么我们要在$ c $的子树中找到所有的距$ c $祖先$ d $的倍数的点。 由于我们拔高了LCA，这时候我们不能简单地枚举倍数。重新审视问题，发现其实它是求的c中从i开始每隔j个的和。采用分块算法，对于小于等于$ \sqrt{n} $的情况共有$ \sqrt{n} $个不同的起点。每个不同的间隔都会完全覆盖依次整个桶。共覆盖了$ \sqrt{n} $次。所以预处理的时间复杂度为$ O(n*\sqrt{n}) $。对于大于$ \sqrt{n} $的情况可以暴力计算。

我们每处理一个重心的时间复杂度为$ O(n*\log n+n*\sqrt{n}) $分为两半，前半部分总时间复杂度为$ O(n*\log n*\log n) $，后半部分带入主定理知为$ O(n*\sqrt{n}) $

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn = ;

 int n;
 int dep[maxn],f[maxn];
 long long ans[maxn];
 vector <int> g[maxn];

 int arr[maxn],sz[maxn],dg[maxn],presum[maxn];

 void read(){
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) {
     scanf("%d",&f[i]);
     g[f[i]].push_back(i);
     g[i].push_back(f[i]);
     }
 }

 void DFS(int now,int dp) {
     dep[now] = dp;
     for(int i=;i<g[now].size();i++){
     if(g[now][i] == f[now]) continue;
     DFS(g[now][i],dp+);
     }
 }

 void dfs1(int now,int fa){
     sz[now] = ;dg[now] = ;
     for(int i=;i<g[now].size();i++){
     if(g[now][i] == fa) continue;
     if(arr[g[now][i]]) continue;
     dfs1(g[now][i],now);
     sz[now] += sz[g[now][i]];
     dg[now] = max(dg[now],sz[g[now][i]]);
     }
     sz[now]++;
 }

 int dfs2(int now,int fa,int tot){
     int res = now;dg[now] = max(tot-sz[now],dg[now]);
     for(int i=;i<g[now].size();i++){
     if(g[now][i] == fa) continue;
     if(arr[g[now][i]]) continue;
     int z = dfs2(g[now][i],now,tot);
     if(dg[res] > dg[z])res = z;
     }
     return res;
 }

 int depest,h[maxn],sum[maxn];
 long long nowans[maxn];
 int Final[][];

 int oth,arv[maxn],s2[maxn];

 void dfs3(int now,int len,int stop){
     h[len]++;depest = max(depest,len);
     for(int i=;i<g[now].size();i++){
     if(g[now][i] == f[now]) continue;
     if(arr[g[now][i]]!= && arr[g[now][i]]<=stop) continue;
     dfs3(g[now][i],len+,stop);
     }
 }

 void dfs4(int now,int cant,int stop,int lca){
     arv[dep[now]-dep[lca]]++; oth = max(oth,dep[now]-dep[lca]);
     for(int i=;i<g[now].size();i++){
     if(g[now][i] == f[now] || g[now][i] == cant) continue;
     if(arr[g[now][i]]!= && arr[g[now][i]]<=stop) continue;
     dfs4(g[now][i],cant,stop,lca);
     }
 }

 void solve_dec(int now,int last,int ht){
     depest = ;
     dfs3(now,,ht);
     for(int i=depest;i>=;i--){
     for(int j=;i*j<=depest;j++) sum[i] += h[i*j];
     nowans[i] = 1ll*sum[i]*(sum[i]-)/;
     for(int j=;i*j<=depest;j++) nowans[i]-=nowans[i*j];
     ans[i] -= nowans[i];
     }
     for(int i=;i<=depest;i++) h[i] = ,sum[i] = ,nowans[i] = ;
 }

 void solve_add(int now,int ht){
     depest = ;
     dfs3(now,,ht);
     for(int i=depest;i>=;i--){
     for(int j=;i*j<=depest;j++) sum[i] += h[i*j]; //multi d
     nowans[i] = 1ll*sum[i]*(sum[i]-)/;
     for(int j=;i*j<=depest;j++) nowans[i]-=nowans[i*j];
     ans[i] += nowans[i];
     }
     for(int i=;i<=depest;i++) nowans[i] = ;

     for(int i=;i*i<=depest;i++) for(int j=;j<i;j++)
         for(int k=j;k<=depest;k+=i) Final[i][j] += h[k];
     // in subtree

     int tp = f[now],last = now,rem = ;
     while(tp&&(arr[tp]>ht||arr[tp] == )){
     oth = ;rem++;
     dfs4(tp,last,ht,tp); // tp mean lca
     for(int i=oth;i>=;i--){
         for(int j=;i*j<=oth;j++) s2[i] += arv[i*j];
         if(i*i<=depest)
         nowans[i] = 1ll*s2[i]*Final[i][(((-rem)%i)+i)%i];
         else{
         int frst = (((-rem)%i)+i)%i;
         int tot = ;
         for(int k =frst;k<=depest;k+=i) tot += h[k];
         nowans[i] = 1ll*s2[i]*tot;
         }
         for(int j=;i*j<=oth;j++) nowans[i] -= nowans[i*j];
         ans[i] += nowans[i];
     }
     last = tp; tp = f[tp];
     for(int i=;i<=oth;i++) arv[i] = s2[i] = nowans[i] = ;
     }
     //out subtree
     for(int i=;i<=depest;i++) h[i] = ,sum[i] = ;
     for(int i=;i*i<=depest;i++) for(int j=;j<i;j++) Final[i][j] = ;
 }

 void divide(int now,int last,int ht){
     dfs1(now,); int pw = sz[now];
     int pt = dfs2(now,,pw);
     arr[pt] = ht;
     for(int i=;i<g[pt].size();i++){
     if(arr[g[pt][i]]) continue;
     divide(g[pt][i],pt,ht+);
     }
     if(last&&f[now]==last) solve_dec(now,last,ht-);
     solve_add(pt,ht);
 }

 void work(){
     DFS(,);
     divide(,,);
     for(int i=;i<=n;i++) presum[dep[i]-]++;
     for(int i=n;i>=;i--) presum[i] += presum[i+];
     for(int i=;i<=n;i++) ans[i] += presum[i];
     for(int i=;i<n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
 }

 int main(){
     read();
     work();
     return ;
 }