【bzoj2844】albus就是要第一个出场

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Description

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子

集构成的集合。定义映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 对于一切t属于T现在albus把2^S中每个集

合的f值计算出来， 从小到大排成一行， 记为序列B（下标从1开始）。 给定一个数， 那么这个数在序列B中第1

次出现时的下标是多少呢？

Input

第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数， 为序列A， 用空格隔开。最后一个数Q， 为给定的数.

Output

共一行， 一个整数， 为Q在序列B中第一次出现时的下标模10086的值.

 

Sample Input

3

1 2 3

1

Sample Output

3

样例解释：

N = 3, A = [1 2 3]

S = {1, 2, 3}

2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

f(空) = 0

f({1}) = 1

f({2}) = 2

f({3}) = 3

f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3

f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2

f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1

f({1, 2, 3}) = 0

所以

B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

数据范围：

1 <= N <= 10,0000

其他所有输入均不超过10^9

Source

湖北省队互测

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题解：
        问题即求子集异或和的某个数的排名；
       线性基的性质：若$A,|A|=n$的线性基为$B$，$|B|=k$,则有$2^k$个不同的子集异或和，且每个会出现$2^{n-k}$次；

由基的线性无关性可以知道有且仅有$^k$个异或和互不相同；
 
       这k个基是可以从$a_i$里选出来的，只是我们为了好写，一般插入就直接消元到某个数组里；
 
       考虑他们的子集异或和S1，另外有$n-k$个数，可以被B中的向量唯一表示，考虑子集异或和S2 ;
 
       S1 ^ S2 也是一种合法的选法；
 
      这样有$^k * ^{n-k} = ^n$种 ,说明只有$^n$且按照这种方式对应；

如果你关心一个蒟蒻的不太严谨的证明的话

高斯亚当消元求出互相独立的线性基，在线性基上一个一个查找；

注意消元的两个循环(line23 line24 )有顺序；

复杂度;$ O(n log \ a_{i} +  log \ a_{i}) $
      20181030

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<stack>
 #include<map>
 #include<set>
 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
 #define ll long long
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 const int N= , mod=;
 int n,d[],q;
 void ins(int x){
     for(int i=;~i;i--)if((x>>i)&){
         if(!d[i]){
             d[i]=x;
             for(int j=;j<i;j++)if(d[j]&&((d[i]>>j)&))d[i]^=d[j];
             for(int j=;j>i;j--)if((d[j]>>i)&)d[j]^=d[i];
             break;
         }
         else x^=d[i];
     }
 }
 int pw(int x,int y){
     int re=;
     while(y){
         if(y&)re=re*x%mod;
         y>>=;x=x*x%mod;
     }
     return re;
 }
 int query(int x){
     int re=,cnt=;
     for(int i=;~i;i--)if(d[i])cnt++;
     int tmp=cnt;
     for(int i=;~i;i--)if(d[i]){
         tmp--;
         if((x^d[i])<x){
             x^=d[i];
             re=(re+pw(,tmp))%mod;
         }
     }
     re=re*pw(,n-cnt)%mod;
     return re;
 }
 int main(){
     freopen("in.in","r",stdin);
     freopen("out.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     Run(i,,n){
         int x;scanf("%d",&x);
         ins(x);
     }
     int x;scanf("%d",&x);
     cout<<(query(x)+)%mod<<endl;
     return ;
 }//by tkys_Austin;