【bzoj2844】albus就是要第一个出场
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Description
Input
第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数, 为序列A, 用空格隔开。最后一个数Q, 为给定的数.
Output
Sample Input
1 2 3
1
Sample Output
样例解释:
N = 3, A = [1 2 3]
S = {1, 2, 3}
2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
f(空) = 0
f({1}) = 1
f({2}) = 2
f({3}) = 3
f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3
f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2
f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1
f({1, 2, 3}) = 0
所以
B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
HINT
数据范围:
1 <= N <= 10,0000
其他所有输入均不超过10^9
Source
题解:
问题即求子集异或和的某个数的排名;
线性基的性质:若$A,|A|=n$的线性基为$B$,$|B|=k$,则有$2^k$个不同的子集异或和,且每个会出现$2^{n-k}$次;
由基的线性无关性可以知道有且仅有$^k$个异或和互不相同; 这k个基是可以从$a_i$里选出来的,只是我们为了好写,一般插入就直接消元到某个数组里; 考虑他们的子集异或和S1,另外有$n-k$个数,可以被B中的向量唯一表示,考虑子集异或和S2 ; S1 ^ S2 也是一种合法的选法; 这样有$^k * ^{n-k} = ^n$种 ,说明只有$^n$且按照这种方式对应;
如果你关心一个蒟蒻的不太严谨的证明的话
高斯亚当消元求出互相独立的线性基,在线性基上一个一个查找;
注意消元的两个循环(line23 line24 )有顺序;
复杂度;$ O(n log \ a_{i} + log \ a_{i}) $
20181030
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N= , mod=;
int n,d[],q;
void ins(int x){
for(int i=;~i;i--)if((x>>i)&){
if(!d[i]){
d[i]=x;
for(int j=;j<i;j++)if(d[j]&&((d[i]>>j)&))d[i]^=d[j];
for(int j=;j>i;j--)if((d[j]>>i)&)d[j]^=d[i];
break;
}
else x^=d[i];
}
}
int pw(int x,int y){
int re=;
while(y){
if(y&)re=re*x%mod;
y>>=;x=x*x%mod;
}
return re;
}
int query(int x){
int re=,cnt=;
for(int i=;~i;i--)if(d[i])cnt++;
int tmp=cnt;
for(int i=;~i;i--)if(d[i]){
tmp--;
if((x^d[i])<x){
x^=d[i];
re=(re+pw(,tmp))%mod;
}
}
re=re*pw(,n-cnt)%mod;
return re;
}
int main(){
freopen("in.in","r",stdin);
freopen("out.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
Run(i,,n){
int x;scanf("%d",&x);
ins(x);
}
int x;scanf("%d",&x);
cout<<(query(x)+)%mod<<endl;
return ;
}//by tkys_Austin;
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