[BZOJ2727][HNOI2012]双十字

bzoj

luogu

sol

先预处理从每个点出发向上/下/左/右能延伸多长。

考虑怎么计算答案。我们只要枚举中轴线，再枚举上方的十字交点，枚举下方的十字交点，然后算答案即可。

考虑一个左右宽的最小值为\(L\)的水平线段对下方的影响。对于下方宽度\(\in[2,L]\)的线段，相当于加上一个等差数列，而对于宽度\(>L\)的线段，相当于加上一个定值\(L-1\)。

所以我们现在要做的就是：动态支持区间加等差数列，区间求和。

用树状数组维护的话就需要维护二阶差分。设需要维护的数列是\(a_i\)，他的一阶差分是\(b_i\)，树状数组维护的二阶差分是\(c_i\)，有：

\[\sum_{i=1}^xa_i=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^ib_j\\=\sum_{j=1}^x(x-j+1)b_j\\=\sum_{j=1}^x(x-j+1)\sum_{k=1}^jc_k\\=\sum_{k=1}^xc_k\sum_{j=k}^x(x-j+1)\\=\sum_{k=1}^xc_k\frac 12(x-k+2)(x-k+1)\\=\frac 12[\sum_{k=1}^xc_kk^2-(2x+3)\sum_{k=1}^xc_kk+(x^2-3x+2)\sum_{k=1}^xc_k]
\]

所以开三个树状数组维护\(\sum_kc_k,\sum_kc_kk,\sum_kc_kk^2\)的前缀和即可。

复杂度\(O(RC\log n)\)，由于暴力清空了树状数组所以复杂度貌似还要带个\(O(Cn)\)。

当然你要是精细一点的清空是可以做到把这个复杂度去掉的，只是写起来就麻烦一点。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 2e6+5;
const int mod = 1e9+9;
const int inv2 = 5e8+5;
int n,m,k,vis[N],u[N],d[N],l[N],r[N],h[N],c1[N],c2[N],c3[N],ans;
inline int p(int x,int y){if(!x||!y||x>n||y>m)return 0;return (x-1)*m+y;}
inline void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
void init(){for (int i=1;i<=m;++i) c1[i]=c2[i]=c3[i]=0;}
void modify(int x,int v){
	for (int i=x;i<=m;i+=i&-i){
		add(c1[i],v);
		add(c2[i],1ll*x*v%mod);
		add(c3[i],1ll*x*x%mod*v%mod);
	}
}
int query(int x){
	int s1=0,s2=0,s3=0,res=0;
	for (int i=x;i;i-=i&-i)
		add(s1,c1[i]),add(s2,c2[i]),add(s3,c3[i]);
	add(res,1ll*(1ll*x*x+3*x+2)%mod*s1%mod);
	add(res,mod-1ll*(x+x+3)*s2%mod);add(res,s3);
	res=1ll*res*inv2%mod;return res;
}
int main(){
	n=gi();m=gi();k=gi();
	for (int i=1,x,y;i<=k;++i) x=gi(),y=gi(),vis[p(x,y)]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			if (!vis[p(i,j)]) u[p(i,j)]=u[p(i-1,j)]+1,l[p(i,j)]=l[p(i,j-1)]+1;
	for (int i=n;i;--i)
		for (int j=m;j;--j)
			if (!vis[p(i,j)]) d[p(i,j)]=d[p(i+1,j)]+1,r[p(i,j)]=r[p(i,j+1)]+1;
	for (int i=1,id;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			if (!vis[p(i,j)]){
				id=p(i,j);
				h[id]=min(l[id],r[id])-1;
				--d[id];--u[id];
			}
	for (int j=2;j<m;++j,init())
		for (int i=3;i<n;++i){
			int id=p(i,j);
			if (vis[id]) {init();continue;}
			if (h[id]) add(ans,1ll*query(h[id]-1)*d[id]%mod);
			modify(1,u[id-m]);modify(h[id-m]+1,mod-u[id-m]);
		}
	printf("%d\n",ans);return 0;
}