Codeforces870F. Paths

n<=10000000的图，满足：如果(i,j)>1就连一条边权1的无相变，问所有d(u,v) (u<=v)--u到v的最短路之和。

首先1和>n/2的质数都是孤立的点。然后两个数x,y如果(x,y)>1最短路就1，如果(x,y)=1且x,y都不是1或>n/2的质数一定能走，具体这么走：$P_x$--x的最小质因子，那就$x->p_x*p_y->y$，那这样都走不了，还有：$x->p_x*2->p_y*2->y$这种一定走得了，因为x或y如果是合数那$p_x$最大是根号的，再*2根本爆不了；如果是质数那由于<=n/2，所以自己*2一定不会爆，因此就统计1的路径数，2的路径数和3的路径数即可。

1的路径数：$\sum_{1<=x<=n,1<=y<=n}(x,y)>1=\sum_{x=1}^{n}x-1-\varphi (x)$。

3的路径数用总的减掉1和2的。

2的路径数，也就是满足$(x,y)=1$且$p_x*p_y<=n$且$x>1,y>1$且x,y都不是大于n/2的质数的：

（1）x,y都是合数：那直接枚举合数，然后$\sum_{y是合数}^{n} \varphi (y)- (<=y的质数) + (x的质因子数)-1$，注意到这一条说的质数、质因子都是包括>n/2的。

（2）x质y合：那也枚举合数，$\sum_{y是合数}^{n} s_y-(y的质因子数)$，其中$s_y$表示比$x*p_y<=n$的质数x的数量，注意到这一条说的质数、质因子都是不包括>n/2的。

（3）x质y质，那枚举质数，$\sum_{y是质数}^{n} x*y<=n$，即$x<=n/y$，注意到这里枚举的质数是<=n/2的，而且这里统计的x也是<=n/2的。

OK！

 #include<string.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<stdio.h>
 //#include<assert.h>
 #include<algorithm>
 //#include<iostream>
 using namespace std;
 
 int n;
 #define maxn 10000011
 int prime[maxn/],lp=,phi[maxn],small[maxn],sum[][maxn],sonofbitch[][maxn]; bool notprime[maxn];
 void pre(int n)
 {
     phi[]=; sum[][]=sum[][]=;
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         sum[][i]=sum[][i-]+(!notprime[i] && i*<=n);
         sum[][i]=sum[][i-]+(!notprime[i]);
         if (!notprime[i]) {prime[++lp]=i; phi[i]=i-; sonofbitch[][i]=(i*<=n);
         sonofbitch[][i]=; small[i]=i;}
         for (int j=;j<=lp && 1ll*i*prime[j]<=n;j++)
         {
             notprime[i*prime[j]]=; small[i*prime[j]]=prime[j];
             if (i%prime[j])
             {
                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);
                 sonofbitch[][i*prime[j]]=sonofbitch[][i]+(prime[j]*<=n);
                 sonofbitch[][i*prime[j]]=sonofbitch[][i]+;
             }
             else
             {
                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                 sonofbitch[][i*prime[j]]=sonofbitch[][i];
                 sonofbitch[][i*prime[j]]=sonofbitch[][i];
                 break;
             }
         }
     }
 }
 
 int main()
 {
     scanf("%d",&n); pre(n);
     #define LL long long
     LL tot1=,tot2=,tot3=,m=n-(sum[][n]-sum[][n])-,tot=m*1ll*(m-)/;
 
     for (int i=;i<=n;i++) tot1+=i--phi[i];
 
     for (int i=;i<=n;i++)
         if (notprime[i])
             tot2+=phi[i]-sum[][i]+sonofbitch[][i]-+sum[][n/small[i]]-sonofbitch[][i];
         else if (i*<=n) tot2+=sum[][min(i-,n/i)];
 
     tot3=tot-tot1-tot2;
 
     printf("%lld\n",tot1+tot2*+tot3*);
     return ;
 }