一、题目描述

描述:

N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K,他们的身高分别为T1, T2, …, TK,则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K) 。

你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入:

第一行整数 N,表示同学的总数

第二行整数数组,空格隔开,表示 N 位同学身高

输出:

最少需要几位同学出列

样例输入:

8
186 186 150 200 160 130 197 200

样例输出:

4

二、最长递增子序列

最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)是指找到一个给定序列的最长子序列的长度,使得子序列中的所有元素单调递增。

例如:{ 3,5,7,1,2,8 } 的 LIS 是 { 3,5,7,8 },长度为 4。

解法一:转化为求最长公共子序列

其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。

  • 设数组 { 3, 5, 7, 1, 2, 8 } 为 A
  • 对数组 A 排序,排序后的数组为 B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }。
  • 于是,求数组 A 的最长递增子序列,就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。

最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是

Θ(nlgn)+Θ(n2)=Θ(n2)

解法二:动态规划法

虽然解法一也是使用动态规划,但是与解法一不同的是,解法二不进行转化,而是直接在原问题上采用动态规划法。

最优子结构:

对于长度为 N 的数组 A[N]={a0,a1,a2,…,an−1},假设我们想求以 ai 结尾的最大递增子序列长度,设为L[i],那么

L[i]=⎧⎩⎨max(L[j])+1,1,where j<i and A[j]<A[i]otherwise

也就是 j 的范围是 0 到 i–1。这样,想求 ai 结尾的最大递增子序列的长度,我们就需要遍历 i 之前的所有位置 j(0到 i-1),找出A[j]<A[i],计算这些 j 中,能产生最大 L[j] 的 j,之后就可以求出 L[i]。之后对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度,这些长度的最大值,就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列的长度。

重叠子问题:

根据上述推导式采用递归实现的话,有些子问题会被计算很多次。

动态规划法:

综上所述,LIS 问题具有动态规划需要的两个性质,可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3,5,7,1,2,8 },则:

具体的打表方式如下:

  • 初始化对角线为 1;
  • 对每一个 i,遍历 j(0 到 i-1):
    • A[i] <= A[j],置 1。
    • A[i] > A[j],取第 j 行的最大值加 1。

打完表以后,最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历,故时间复杂度还是 Θ(n2) 。

通常在实现的时候我们不会创建一整个表,因为这样太浪费空间。由打表的过程可知,我们只需要一个一维数组来保存每一行的最大值即可:

// LIS 的动态规划方式实现
#include <iostream>
using namespace std; int getLISLength(int A[], int len)
{
/* 一维数组 */
int* lis = new int[len]; /* 初始化为1 */
for (int i = 0; i < len; ++i)
lis[i] = 1; /* 计算每个i对应的lis最大值,即打表的过程 */
for (int i = 1; i < len; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1
if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]+1)
lis[i] = lis[j] + 1; // 更新 /* 数组中最大的那个,就是最长递增子序列的长度 */
int maxlis = 0;
for (int i = 0; i < len; ++i)
if ( maxlis < lis[i] )
maxlis = lis[i]; delete [] lis;
return maxlis;
} int main()
{
int arr[] = {3, 5, 7, 1, 2, 8};
cout << getLISLength(arr, 6) << endl;
return 0;
}

解法三:Θ(nlgn)的方案

本解法的具体操作如下:

  • 开一个栈,依次读取数组元素 x 与栈顶元素 top:

    • 如果 x > top,将 x 入栈;
    • 如果 x < top,则二分查找栈中第一个 大于等于x 的数,并用 x 替换它。

遍历结束之后,最长递增序列长度即为栈的大小。

int getLISLength(int A[], int len)
{
vector<int> v; // 模拟栈
for(int i=0; i<len; ++i)
{
if(v.size()==0 || v.back()<A[i])
v.push_back(A[i]);
else // 二分查找
{
int mid, low=0, high=v.size()-1;
while(low<high)
{
mid = (low+high)/2;
if(v[mid] < A[i])
low = mid + 1;
else
high = mid - 1;
}
v[low] = A[i]; // 替换
}
}
return v.size();
}

由于使用了二分搜索,故时间复杂度变成了 Θ(nlgn)。

特别注意的是:本方法只能用于求最长递增子序列的长度,千万不要以为栈中的序列就是最长递增子序列:

  • 例一:原序列为1,5,8,3,6,7

    栈为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。

  • 例二:原序列为1,5,8,3

    则最终栈为1,3,8。明显这不是最长递增子序列!

三、解题报告

根据题意可知,我们需要求出一个“中间点”,使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。

#include <iostream>
using namespace std; int main()
{
int len;
cin >> len;
int *A = new int[len];
for(int i=0; i<len; ++i)
cin >> A[i]; // lis[i]表示以A[i]为结尾的最长递增子序列的长度
int *lis = new int[len];
// lds[i]表示以A[i]为起点的最长递减子序列的长度
int *lds = new int[len]; for (int i = 0; i < len; ++i)
{
lis[i] = 1;
lds[i] = 1;
} for(int i=1; i<len; ++i)
for(int j=0; j<i; ++j)
if(A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]+1)
lis[i] = lis[j] + 1; for(int i=len-2; i>=0; --i)
for(int j=len-1; j>i; --j)
if(A[i] > A[j] && lds[i] < lds[j]+1)
lds[i] = lds[j] + 1; int maxl = 0;
for(int i=0; i<len; ++i)
if(maxl < lis[i]+lds[i])
maxl = lis[i] + lds[i]; cout << len - maxl + 1 << endl; delete [] lis;
delete [] lds;
delete [] A;
return 0;
}

个人站点:http://songlee24.github.com

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