【LOJ】#2320. 「清华集训 2017」生成树计数

题解

我，理解题解，用了一天

我，卡常数，又用了一天

到了最后，我才发现，我有个加法取模，写的是while(c >= MOD) c -= MOD

我把while改成if，时间，少了

六倍。

六倍。

六倍！！！！

maya我又用第一次T的代码改掉了while，我第一次T的代码也A了= =

那我，改单位复根，FFT循环展开，分治内部循环展开，为了啥= =

好吧，但是我最后上榜了。。。LOJ第四的样子。。

\(\prod_{i = 1}^{N} d_{i}^{m}\sum_{i = 1}^{N}d_{i}^{m}\)

这个时候，我们把连通块当成一个大点做prufer序，序列里的每个连通块\(i\)的位置都有\(a_{i}\)种填数方式，式子可以改写成这样

\(\prod_{i = 1}^{N} a_{i}^{d_{i}}d_{i}^{m}\sum_{i = 1}^{N}d_{i}^{m}\)

\(\sum_{i = 1}^{N} d_{i}^{m}\prod_{j = 1}^{N}a_{j}^{d_{j}}d_{j}^{m}\)

我们考虑一下一个最暴力的dp（我的第一反应，啥，这怎么是dp？

当然是dp出一个prufer序列啦

\(f[i][j]\)表示考虑了前i个数，填了j个格子，没有多乘任何一个\(d_{i}^{m}\)

\(g[i][j]\)表示考虑了前i个数，填了j个格子，已经乘了一个\(d_{i}^{m}\)

转移的时候，枚举当前这个数填上k个格子

\(f[i][j] += f[i - 1][j - k] * a_{i}^{k} k^{m}\)

\(g[i][j] += g[i - 1][j - k] * a_{i}^{k} k^{m}\)

\(g[i][j] += f[i - 1][j - k] * a_{i}^{k} k^{2m}\)

复杂度\(O(n^{3})\)

但是显然过不掉

我们再考虑一个……套路！因为m出奇的小？

乘方转斯特林数

想一下\(x^{m}\)的组合意义，相当于\(m\)种颜色涂在\(x\)个格子里，每个种颜色只能涂一个格子，但是每个格子可以涂很多颜色

再看一下原式子，把它变成这样的形式

\(\sum_{i = 1}^{N} a_{i}^{d_{i}}d_{i}^{2m}\prod_{j = 1,j != i}^{N}a_{j}^{d_{j}}d_{j}^{m}\)

然后，我们把乘方拆开，怎么拆呢

考虑到上述的组合意义

我们也就是求所有prufer序列的染色方式，在每一次决策的时候选择是否将某个点用\(2m\)种颜色染，我们在序列后面（脑补）出1 - N，这样prufer序列里数字出现的个数就正好是点度

\(m\)很小，染色的格子很少，我们从这个方向考虑

设已经被染色的格子个数是\(j\)，那么再放入一个新的数，染色个数为\(k\)的时候，需要乘上

\(\binom{n - 2 - j}{k}((S(m,k)k! + S(m,k + 1)(k + 1)!)\)

我们就是在\(n - 2 - j\)个没有染色的位置里，选择\(k\)个位置，然后\(S(m,k)\)就相当于把这\(m\)种颜色分配到这\(k\)个位置里，然后这些颜色还可以再次打乱顺序进行排列，就再乘一个\(k!\)

为什么还有\(k + 1\)，因为\(k\)代表的是这\(n - 2\)个prufer序里面的这类点染色的个数，我们还有后面脑补出的1 - N的位置，所以要讨论+1的情况

这个时候我们已经给每个连通块选好了\(d_{i}\)个点，并涂好了颜色，然后我们再乘上式子里的\(a_{i}^{d_{i}}\)就好

如果是\(2m\)种颜色染色，把\(m\)换成\(2m\)就可以

我们观察一下这个组合数，我们会发现我们可以把\(\frac{1}{k!}\)分离出来，每次统计贡献的时候加上，剩下的等全部算完答案后，如果染色的个数为\(j\)，那么答案再乘上\(\frac{(n - 2)!}{(n - 2 - j)!}\)

同时，我们除了染色的位置还有很多空位，每个空位都有\(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\)种情况，如果有\(j\)个位置被染色了，那么答案还要再乘上

\((\sum_{i = 1}^{n}a_{i})^{n - 2 - j}\)

这样的复杂度是\(n^2m\)的

什么，你觉得想到这个有点别扭？

那我写一个更套路一点的想法吧

我们回忆到斯特林数的展开式，根据容斥，显然有

\(S(m,k) = \frac{1}{k!} \sum_{i = 0}^{k}(-1)^{i} \binom{k}{i} (k - i)^{m}\)

什么，你说你不知道这个式子……简单理解一下，就是我们枚举\(i\)个盒子里没有任何元素，\(\binom{k}{i}\)枚举了所有\(i\)个盒子的集合……就有了这个容斥

我们稍稍的变一下形

\(S(m,k) k!= \sum_{i = 0}^{k}(-1)^{k - i} \binom{k}{i} (i)^{m}\)

有没有注意到啥。。这个式子无比的眼熟

如果还没注意到就设

\(f(k) = S(m,k) k!\)

\(g(k) = k^{m}\)

\(f(k) = \sum_{i = 0}^{k}(-1)^{k - i} \binom{k}{i} g(i)\)

如果你还不为所动……我就打人了= =

好吧，这很明显是个二项式反演，我们尝试用\(f(x)\)表示\(g(x)\)

\(g(x) = \sum_{i = 0}^{x}\binom{x}{i}f(i)\)

我们尝试把点度\(d\)代入

\(d^{m} = \sum_{k = 0}^{d} \binom{d}{k} S(m,k) k!\)

\(d\)可能很大，是没错，但是\(m\)很小，在这里，我们假设\(m < d\)，因为对于\(S(m,k)\)如果\(k > m\)那么\(S(m,k) = 0\)

\(d^{m} = \sum_{k = 0}^{m} \binom{d}{k} S(m,k) k!\)

那么这个方程是什么呢，代表了\(d^{m}\)可以用在\(d\)位置里选\(k\)个位置然后乘上\(S(m,k)k!\)来组合出来

嗯？和\(O(n^3)\)的算法有点类似了？

但是和那个暴力DP不同的是，我们只需要枚举\(m\)个位置了，复杂度降到了\(O(n^{2}m)\)

我们只需要考虑如何用dp覆盖对于每一种prufer序列我们对每个连通块的大点，每种点都选\(0 - m\)个位置，来乘上\(S(m,k)k!\)

这个时候，我们想到我们记录染色的位置，来求出所有本质不同的染色序列，这就是我们的答案了

会不会有人到这里就不理解\(S(m,k + 1)(k + 1)!\)了啊……，因为prufer序就是前面n - 2个数决定的，不关后面（脑补）的1 - N个数的顺序

所以我们要单独讨论一下，可以认为是我们对于这个式子

\(d^{m} = \sum_{k = 0}^{m} \binom{d}{k} S(m,k) k!\)

假如现在k = 0，我们的\(S(m,k + 1)(k + 1)!\)是统计了k = 1时的某些情况

假如现在k = 1，我们的\(S(m,k + 1)(k + 1)!\)是统计了k = 2时的某些情况

\(f,g\)的定义和前面的暴力dp定义类似

\(f[i][j]\)表示考虑了前\(i\)个点，有\(j\)个位置被染色了

\(g[i][j]\)表示考虑了前\(i\)个点，有\(j\)个位置被染色，还同时统计了某一处位置用\(2m\)染色了

给出一段暴力的代码吧……

int cur = 0;
f[0][0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	memset(f[cur ^ 1],0,sizeof(f[cur ^ 1]));
	memset(g[cur ^ 1],0,sizeof(g[cur ^ 1]));
	for(int j = 0 ; j <= N - 2 ; ++j) {
	    for(int k = 0 ; k <= M && j + k <= N - 2 ; ++k) {
			update(f[cur ^ 1][j + k],mul(f[cur][j],F1[i][k]));
			update(g[cur ^ 1][j + k],mul(g[cur][j],F1[i][k]));
	    }
	    for(int k = 0 ; k <= 2 * M  && j + k <= N - 2; ++k) {
			update(g[cur ^ 1][j + k],mul(f[cur][j],F2[i][k]));
	    }
	}
	cur ^= 1;
}

\(F1,F2\)分别代表是用一个\(m\)染色还是用2个\(m\)染色

似乎没有什么可优化啦……

然而这个方程本质是个卷积，可以上分治FFT，然后就在\(O(nm \log n)\)解决了。。。

他说不卡常……确实不卡常，我的错误神奇得太离谱了= =

正常模样的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
//#define ivorysi
#define pb push_back
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mo 974711
#define MAXN 30005
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {putchar('-');x = -x;}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
const int MOD = 998244353,G = 3,L = (1 << 20);
int fac[MAXN],S[75][75],invfac[MAXN],N,M,a[MAXN],P[MAXN][75],F1[MAXN][75],F2[MAXN][75];
int f[2][MAXN],g[2][MAXN],W[L + 5];
int mul(int a,int b) {return 1LL * a * b % MOD;}
int inc(int a,int b) {a = a + b;if(a >= MOD) a -= MOD;return a;}
void update(int &x,int y) {x = inc(x,y);}
int fpow(int x,int c) {
    int res = 1,t = x;
    while(c) {
		if(c & 1) res = mul(res,t);
		t = mul(t,t);
		c >>= 1;
    }
    return res;
}
struct poly {
	vector<int> a;
	poly() {a.clear();}
	friend void NTT(poly &f,int T,int on) {
		f.a.resize(T);
		for(int i = 1 , j = T / 2; i < T - 1; ++i) {
			if(i < j) swap(f.a[i],f.a[j]);
			int k = T / 2;
			while(j >= k) {j -= k;k >>= 1;}
			j += k;
		}
		for(int h = 2 ; h <= T ; h <<= 1) {
			int wn = W[(L + on * L / h) % L];
			for(int k = 0 ; k < T ; k += h) {
				int w = 1;
				for(int j = k ; j < k + h / 2 ; ++j) {
					int u = f.a[j],t = mul(f.a[j + h / 2],w);
					f.a[j] = inc(u,t);
					f.a[j + h / 2] = inc(u,MOD - t);
					w = mul(w,wn);
				}
			}
		}
		if(on == -1) {
			int InvT = fpow(T,MOD - 2);
			for(int i = 0 ; i < T ; ++i) f.a[i] = mul(f.a[i],InvT);
		}
	}
	friend poly operator + (const poly &f,const poly &g) {
		int T = max(f.a.size(),g.a.size());
		poly h;h.a.resize(T);
		for(int i = 0 ; i < T ; ++i) h.a[i] = inc(f.a[i],g.a[i]);
		return h;
	}
	friend poly operator * (poly f,poly g) {
		int T = 1,t = f.a.size() + g.a.size();
		while(T <= t) T <<= 1;
		NTT(f,T,1);NTT(g,T,1);
		poly h;h.a.resize(T);
		for(int i = 0 ; i < T ; ++i) h.a[i] = mul(f.a[i],g.a[i]);
		NTT(h,T,-1);
		for(int i = T - 1 ; i >= 0 ; --i) {
			if(!h.a[i]) h.a.pop_back();
			else break;
		}
		if(h.a.size() > N - 1) h.a.resize(N - 1);
		return h;
	}
};
void Init() {
    read(N);read(M);
    int T = max(N,2 * M + 1);
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= T ; ++i) fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
    invfac[T] = fpow(fac[T],MOD - 2);
    for(int i = T - 1; i >= 0 ; --i) invfac[i] = mul(invfac[i + 1],i + 1);
    S[0][0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= 70 ; ++i) {
		for(int j = 1 ; j <= i ; ++j) {
		    S[i][j] = inc(S[i - 1][j - 1],mul(S[i - 1][j],j));
		}
    }
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) read(a[i]);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
		P[i][0] = 1;
		for(int j = 1 ; j <= 70 ; ++j) {
		    P[i][j] = mul(P[i][j - 1],a[i]);
		}
    }
    W[0] = 1,W[1] = fpow(G,(MOD - 1) / L);
    for(int i = 2 ; i < L ; ++i) W[i] = mul(W[i - 1],W[1]);
}
pair<poly,poly> Solve(int L,int R) {
	if(L == R) {
		poly s,t;s.a.resize(M + 1);t.a.resize(2 * M + 1);
		for(int i = 0 ; i <= 2 * M ; ++i) {
			if(i <= M)
				s.a[i] = mul(mul(inc(mul(S[M][i],fac[i]),mul(S[M][i + 1],fac[i + 1])),invfac[i]),P[L][i]);
			t.a[i] = mul(mul(inc(mul(S[2 * M][i],fac[i]),mul(S[2 * M][i + 1],fac[i + 1])),invfac[i]),P[L][i]);
		}
		return mp(s,t);
	}
	int mid = (L + R) >> 1;
	pair<poly,poly> S = Solve(L,mid),T = Solve(mid + 1,R);
	return mp(S.fi * T.fi,S.se * T.fi + S.fi * T.se);
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Init();
    pair<poly,poly> res = Solve(1,N);
    poly g = res.se;g.a.resize(N - 1);
    int sum = 0,p = 1,ans = 0,t = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) sum = inc(sum,a[i]),p = mul(p,a[i]);
	for(int i = N - 2 ; i >= 0; --i) {
		ans = inc(ans,mul(mul(g.a[i],t),invfac[N - 2 - i]));
		t = mul(t,sum);
    }
    ans = mul(ans,mul(fac[N - 2],p));
    out(ans);putchar('\n');
    return 0;
}

卡常之后的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
//#define ivorysi
#define pb push_back
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mo 974711
#define MAXN 400005
#define RG register
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {putchar('-');x = -x;}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
const int MOD = 998244353,L = (1 << 16);
int fac[MAXN],S[105][105],invfac[MAXN],a[MAXN],N,M,P[MAXN][105];
int W[L + 5],IW[L + 5],top,fl[MAXN],fr[MAXN],gl[MAXN],gr[MAXN],f[MAXN],g[MAXN];
vector<int> F[105],G[105];
inline int mul(RG const int &a,RG const int &b) {return (int64)a * b % MOD;}
inline int inc(RG const int &a,RG const int &b) {RG int c = a + b;if(c >= MOD) c -= MOD;return c;}
int fpow(RG int x,RG int c) {
    RG int res = 1,t = x;
    while(c) {
	if(c & 1) res = mul(res,t);
	t = mul(t,t);
	c >>= 1;
    }
    return res;
}
void NTT(RG int *f,RG int T,RG int on,RG int *w) {
    RG int tmp,*wm,*ai,*ami;
    for(RG int i = 1 , j = T / 2; i < T - 1 ; ++i) {
	if(i < j) {tmp = f[i];f[i] = f[j];f[j] = tmp;}
	RG int k = T / 2;
	while(j >= k) {
	    j -= k;
	    k >>= 1;
	}
	j += k;
    }
    #define work(j) {tmp = mul(ami[j],wm[j]);ami[j] = inc(ai[j],MOD - tmp);ai[j] = inc(ai[j],tmp); }
    for(RG int h = 2,m = 1; h <= T ; m = h,h <<= 1) {
	wm = w + m;
	if(m < 8) {
	    for(RG int i = 0 ; i < T ; i += h) {
		ai = f + i,ami = f + m + i;
		for(RG int j = 0 ; j < m ; ++j) work(j);
	    }
	}
	else {
	    for(RG int i = 0 ; i < T ; i += h) {
		ai = f + i,ami = f + m + i;
		for(RG int j = 0 ; j < m ; j += 8) {
		    work(j);
		    work(j + 1);
		    work(j + 2);
		    work(j + 3);
		    work(j + 4);
		    work(j + 5);
		    work(j + 6);
		    work(j + 7);
		}
	    }
	}
    }
    if(on < 0) {
	RG int InvT = fpow(T,MOD - 2);
        #define C(x,y) {f[x] = mul(f[x],y);}
	if(T < 8) {for(RG int i = 0 ; i < T ; ++i) C(i,InvT);}
	else {
	    for(RG int i = 0 ; i < T ; i += 8) {
		C(i,InvT);
		C(i + 1,InvT);
		C(i + 2,InvT);
		C(i + 3,InvT);
		C(i + 4,InvT);
		C(i + 5,InvT);
		C(i + 6,InvT);
		C(i + 7,InvT);
	    }
	}
    }
}
void Init() {
    read(N);read(M);
    RG int T = max(N,2 * M + 1);
    fac[0] = 1;
    for(RG int i = 1 ; i <= T ; ++i) fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
    invfac[T] = fpow(fac[T],MOD - 2);
    for(RG int i = T - 1; i >= 0 ; --i) invfac[i] = mul(invfac[i + 1],i + 1);
    S[0][0] = 1;
    for(RG int i = 1 ; i <= 70 ; ++i) {
	for(RG int j = 1 ; j <= i ; ++j) {
	    S[i][j] = inc(S[i - 1][j - 1],mul(S[i - 1][j],j));
	}
    }
    for(RG int j = 1 ; j <= 2 * M ; ++j) {
    	S[M][j] = mul(S[M][j],fac[j]);
    	S[2 * M][j] = mul(S[2 * M][j],fac[j]);
    }
    for(RG int j = 0 ; j <= 2 * M ; ++j) {
    	S[M][j] = mul(inc(S[M][j],S[M][j + 1]),invfac[j]);
    	S[2 * M][j] = mul(inc(S[2 * M][j],S[2 * M][j + 1]),invfac[j]);
    }
    for(RG int i = 1 ; i <= N ; ++i) read(a[i]);
    for(RG int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	P[i][0] = 1;
	for(RG int j = 1 ; j <= 70 ; ++j) {
	    P[i][j] = mul(P[i][j - 1],a[i]);
	}
    }
    RG int half = L / 2;
    RG int t1 = fpow(3,(MOD - 1) / L),t2 = fpow(t1,MOD - 2);
    W[half] = 1;IW[half] = 1;
    for(RG int i = 1 ; i < half; ++i) W[i + half] = mul(W[i + half - 1],t1),IW[i + half] = mul(IW[i + half - 1],t2);
    for(RG int i = half - 1 ; i >= 0 ; --i) W[i] = W[i << 1],IW[i] = IW[i << 1];
}
void Solve(RG int L,RG int R) {
    if(L == R) {
	++top;
	F[top].resize(M + 1);G[top].resize(2 * M + 1);
	for(RG int i = 0 ; i <= 2 * M ; ++i) {
	    if(i <= M)
		F[top][i] = mul(S[M][i],P[L][i]);
	    G[top][i] = mul(S[2 * M][i],P[L][i]);
	}
	return ;
    }
    RG int mid = (L + R) >> 1;
    Solve(L,mid);int Ld = top;
    Solve(mid + 1,R);int Rd = top;
    top -= 2;
    RG int s1 = F[Ld].size(),s2 = F[Rd].size(),s3 = G[Ld].size(),s4 = G[Rd].size();
    RG int t = max(max(s1 + s2,s1 + s4),s3 + s2);
    RG int K = 1;while(K <= t) K <<= 1;
    for(int i = 0 ; i < s1 ; ++i) fl[i] = F[Ld][i];
    for(int i = 0 ; i < s2 ; ++i) fr[i] = F[Rd][i];
    for(int i = 0 ; i < s3 ; ++i) gl[i] = G[Ld][i];
    for(int i = 0 ; i < s4 ; ++i) gr[i] = G[Rd][i];
    fill(fl + s1,fl + K,0);
    fill(fr + s2,fr + K,0);
    fill(gl + s3,gl + K,0);
    fill(gr + s4,gr + K,0);
    NTT(fl,K,1,W);NTT(fr,K,1,W);NTT(gl,K,1,W);NTT(gr,K,1,W);
#define Calc1(i) {f[i] = mul(fl[i],fr[i]);}
#define Calc2(i) {g[i] = inc(mul(fl[i],gr[i]),mul(gl[i],fr[i]));}
    if(K < 8) {
	for(int i = 0 ; i < K ; ++i) {
	    Calc1(i);Calc2(i);
	}
    }
    else {
	for(RG int i = 0 ; i < K ; i += 8) {
	    Calc1(i);Calc1(i + 1);
	    Calc1(i + 2);Calc1(i + 3);
	    Calc1(i + 4);Calc1(i + 5);
	    Calc1(i + 6);Calc1(i + 7);
	    Calc2(i);Calc2(i + 1);
	    Calc2(i + 2);Calc2(i + 3);
	    Calc2(i + 4);Calc2(i + 5);
	    Calc2(i + 6);Calc2(i + 7);
	}
    }
    NTT(f,K,-1,IW);NTT(g,K,-1,IW);
    ++top;
    F[top].clear();G[top].clear();
    t = min(N - 2,K - 1);
    while(t >= 0) {
	if(!f[t]) --t;
	else break;
    }
    for(RG int i = 0 ; i <= t ; ++i) F[top].pb(f[i]);
    t = min(N - 2,K - 1);
    while(t >= 0) {
	if(!g[t]) --t;
	else break;
    }
    for(RG int i = 0 ; i <= t ; ++i) G[top].pb(g[i]);
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Init();
    Solve(1,N);
    G[top].resize(N - 1);
    RG int ans = 0,sum = 0,p = 1,t = 1;
    for(RG int i = 1 ; i <= N ; ++i) sum = inc(sum,a[i]),p = mul(p,a[i]);
    for(RG int i = N - 2 ; i >= 0 ; --i) {
	ans = inc(ans,mul(mul(G[top][i],t),invfac[N - 2 - i]));
	t = mul(t,sum);
    }
    ans = mul(mul(ans,p),fac[N - 2]);
    out(ans);enter;
    //out(clock());enter;
    return 0;
}