「Luogu P3680 凸轮廓线」

一道神奇的计算几何题

前置芝士

1. 正三角形,正方形,圆:什么,您都会,那真是太好了.
2. 三角函数的运用:因为我不是很想在这一块写太多,具体可以自行百度.

推导公式

对于一串是圆和正方形开头和结尾时是十分好做的,这里也不展开了.

那么问题来了,三角形开头时需要怎么算呢???

如果全部都是三角形那也可以直接算,一串三角形后面是一个正方形:



可以将这条红色线段树放入一个三角形中,其中一条边为黄色线段树,这个还是十分好计算的\(l=n-0.5\)(n为三角形个数),还有一条边为正方形边长减去绿色线段(正三角形的高),\(l=1-\sqrt{3}*0.5\),这样,这道题的差不多一半的分就被拿到了.



对于这样一条线段,如果又用刚才的方法那真是太天真了,这样会导致计算上出现一点小小的偏差,但是绝对能把您卡掉,红色线段与圆是相切的,所以:



可以通过这样算出红色线段的长,但是,在红色线段上那小小的圆弧要怎么办呢



(高倍放大镜下的图),将这个角分成几个角,用三角函数求出弧度,再求出弧长就好了(因为作者懒,具体不解释).

具体做法

实在是看见三角函数就头痛,所以pass了.

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rap(i,first,last) for(int i=first;i<=last;++i)
#define pi 3.1415926535
using namespace std;
int N;
double answer,sum,Long;
char s[100];
double Helf(char ch)
{
	if(ch=='S')return 2.0;
	if(ch=='C')return pi/2;
	if(ch=='T')return 1.5;
}
double Delta(double a,double b)
{
	double CosA,Angle,c;
	c=sqrt(a*a+b*b);
	CosA=b/c;
	Angle=acos(CosA)/pi*180;
	return Angle;
}
double Delta_2(double a,double b)
{
	double CosA,Angle,c;
	c=sqrt(b*b-a*a);
	CosA=(2*b*b-2*a*a)/(2*b*c);
	Angle=acos(CosA)/pi*180;
	return Angle;
}
int main()
{
	scanf("%d",&N);
	rap(i,1,N)cin>>s[i];
	answer=N*2-2;
	int l=1,r=N;
	while(s[l]=='T'&&l<N)l++;
	while(s[r]=='T'&&r>1)r--;
	if(l>r)//特判全是三角形
	{
		answer=N*2+1;
		printf("%.9ld",answer);
		return 0;
	}
	if(l==1)
	answer+=Helf(s[1]);//第一个位置不是三角形
	else
	{
		Long=l-1;
		if(s[l]=='C')
		{
			sum=Delta(sqrt(3)*0.5-0.5,Long)+Delta_2(
			sqrt((sqrt(3)*0.5-0.5)*(sqrt(3)*0.5-0.5)+Long*Long-0.25),
			sqrt((sqrt(3)*0.5-0.5)*(sqrt(3)*0.5-0.5)+Long*Long));//算出圆弧的角度,如果看不懂可以先学习三角函数
			answer+=1+sqrt((sqrt(3)*0.5-0.5)*(sqrt(3)*0.5-0.5)+Long*Long-0.25)-(Long-0.5)+(90-sum)/360*pi;//算出圆弧加线段的长
		}
		else
		answer+=+1+sqrt((1-0.5*sqrt(3))*(1-0.5*sqrt(3))+(Long-0.5)*(Long-0.5))-(Long-1);//正方形的计算还是比较简单的
	}
	if(r==N)//以下同理
	answer+=Helf(s[N]);
	else
	{
		Long=N-r;
		if(s[r]=='C')
		{
			sum=Delta(sqrt(3)*0.5-0.5,Long)+Delta_2(
			sqrt((sqrt(3)*0.5-0.5)*(sqrt(3)*0.5-0.5)+Long*Long-0.25),
			sqrt((sqrt(3)*0.5-0.5)*(sqrt(3)*0.5-0.5)+Long*Long));
			answer+=1+sqrt((sqrt(3)*0.5-0.5)*(sqrt(3)*0.5-0.5)+Long*Long-0.25)-(Long-0.5)+(90-sum)/360*pi;
		}
		else
		answer+=+1+sqrt((1-0.5*sqrt(3))*(1-0.5*sqrt(3))+(Long-0.5)*(Long-0.5))-(Long-1);
	}
	printf("%.9ld",answer);
}