问题描述:给定N个整数的序列{A1,A2,A3,…,An},求解子列和中最大的值。

这里我们给出{-2,11,-4,13,-5,-2}这样一个序列,正确的最大子列和为20

该题是在数据结构与算法中经常用于分析时间复杂度的典型题目,以下将给出四种方法来求解

方法一:穷举法

思路:将每一个子列的和都算出来,然后找出最大子列和。

时间复杂度为O(n3)

    public int maxSubSum1(int[] arr) {
int maxSum = 0;
//获取数组大小,即循环大小
int length = arr.length;
//第一重循序,0 ~ length
for (int i = 0; i < length; i++) {
//第二重循序,i ~ length
for (int j = i; j < length; j++) {
//每次求和前,将thisSum重置为0
int thisSum = 0;
//第三重循序,开始计算子列和
for (int k = i; k < j; k++) {
thisSum += arr[k];
//更新最大值
if (thisSum > maxSum) {
maxSum = thisSum;
}
}
}
}
return maxSum;
}

方法二:穷举法优化

思路:在方法一中,我们需要把每一个子列中的每一项分别相加求和。

我们可以对计算过程进行优化:前一次遍历已经计算出N1,N2,..Ni的和sum,那么下一个子列N1,N2,..Ni,Ni+1的和即为sum+Ni+1,不需要再把每一项遍历求和了。

时间复杂度为O(n2)

    public int maxSubSum1(int[] arr) {
int maxSum = 0;
//获取数组大小,即循环大小
int length = arr.length;
//第一重循序,0 ~ length
for (int i = 0; i < length; i++) {
//每次求和前,将thisSum重置为0
//第二重循序,i ~ length,获取子列的同时开始累加
int thisSum = 0;
for (int j = i; j < length; j++) {
thisSum += arr[j];
if (thisSum > maxSum) {
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}

方法三:分而治之思想

思路较复杂,有兴趣的可以百度一下。

方法四:在线处理

一次遍历即求出最大子列和。

时间复杂度为O(n)

思路:将数组从头开始遍历累加,当前和thisSum > maxSum时,那么记录maxSum = thisSum。

     当前和thisSum 为负数时,抛弃当前和thisSum(任何负的子序列都不可能是最大子序列的前缀,所以可以知道,只要是首位元素为负数的肯定不是最大子列的组成部分),

将thisSum=0,重新开始累加,直至thisSum > maxSum。

    public  int getMaxSum(int[] arr) {
int thisSum = 0, maxSum = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
thisSum += arr[i];
if (thisSum > maxSum) {
maxSum = thisSum;
} else {
thisSum = 0;
}
}
return maxSum;
}

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