图上最短路(Dijkstra, spfa)
单源最短路径
题目描述
如题,给出一个有向图,请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。
输入输出格式
输入格式:
第一行包含三个整数N、M、S,分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。
接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi,分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。
输出格式:
一行,包含N个用空格分隔的整数,其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度(若S=i则最短路径长度为0,若从点S无法到达点i,则最短路径长度为2147483647)
输入输出样例
输入样例
输出样例
单源最短路(Single-Source Shortest Paths, SSSP)
先上Dijkstra算法
Dikstra 算法适用于边权为正的情况。主要想法是:将一个点走一步能到达的所有结点都放进队列里,并从队列里选择源点到该点路径最短的结点出队。这样就保证出队的结点一定是源点到该点的最短路。那么就能确定放进队列的每一个结点不仅要有该结点的编号,也要有源点到该结点的距离,所以可以用结构体来实现。队列中出队的必须是最小的,那么就可以用优先队列实现。所以开一个结构体优先队列。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + ;
const int INF = ;
struct Grap
{
int num, cost; //num点编号,cost到该点距离
bool operator < (const Grap& other)const
/*优先队列出队的原本是最大的,而我们期望的是最小的,所
以重载小于号,不仅要兼容结构体,还要使逻辑相反 */
{
return cost > other.cost;
}
};
vector<int>v[maxn];
vector<int>c[maxn];
int n, m, k, vis[maxn], dis[maxn];
void dijkstra(int k)
{
for(int i = ; i < maxn; ++i)
dis[i] = INF;
/*初始化设为无穷,同时也代表了源点无法到达的点
的最短路径长度就是无穷*/
memset(vis, , sizeof(vis));
priority_queue<Grap>q;
q.push((Grap){k, });
dis[k] = ;
while(!q.empty())
{
Grap now = q.top(); q.pop();
int node = now.num;
if(vis[node]) continue;
/*如果该点已经出队,那到这个点的路径长度一定是最短路。为了防止
结点的重复扩展,如果发现新取出来的结点曾经被取出来过,应该直接
把它扔掉,所以开一个数组记录。 */
vis[node] = ;
for(int i = ; i < v[node].size(); ++i)
{
if(dis[v[node][i]] > dis[node] + c[node][i])
{
dis[v[node][i]] = dis[node] + c[node][i]; q.push((Grap){v[node][i], dis[v[node][i]]});
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for(int i = ; i < m; ++i)
{
int a, b, cost; scanf("%d%d%d", &a, &b, &cost);
v[a].push_back(b); c[a].push_back(cost); //用vector建图
}
dijkstra(k);
for(int i = ; i <= n; ++i) printf("%d%s",dis[i], i == n ? "\n" : " ");
return ;
}
再上一个spfa算法
spfa算法不仅可以求最短路,也可以判断一个图中存不存在负圈。在这个算法中,一个结点可能多次入队(出队),最多入队 n 次(结点个数次),而当超过 n 次时,就证明一定存在负圈。
#include <cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int>v[], c[];
const int INF = ;
int dis[];
bool vis[];
void spfa(int a)
{
for(int i = ; i < ; ++i) dis[i] = INF;
dis[a] = ;
memset(vis, , sizeof(vis));
queue<int>q;q.push(a);
while(!q.empty())
{
int now = q.front();q.pop();
vis[now] = ; //出队后去除标记
for(int i = ; i < (int)v[now].size(); ++i)
{
if(dis[now] + c[now][i] < dis[v[now][i]])
{
dis[v[now][i]] = dis[now] + c[now][i];
if(!vis[v[now][i]])
{q.push(v[now][i]); vis[v[now][i]] = ;}
}
}
}
}
int main()
{
int n, m, s;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
for(int i = ; i < m; ++i)
{
int f, g, w;
scanf("%d%d%d", &f, &g, &w);
v[f].push_back(g);c[f].push_back(w);
}
spfa(s);
for (int i = ; i <= n; i++) printf("%d%c", dis[i], i == n ? '\n' : ' ');
}
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