座位安排（欧拉回路，高斯消元，bitset）

题面

由于旋转大师

F

r

e

n

c

h

\rm French

French 的离去，

A

r

e

x

t

r

e

\rm Arextre

Arextre 光荣地承担了给全班换座位的重任。

由于这是个有

O

n

e

I

n

D

a

r

k

\rm OneInDark

OneInDark 和

H

a

n

d

I

n

D

e

v

i

l

\rm HandInDevil

HandInDevil 的班级，所以换座位难免有些困难。

全班一共有

n

n

n 个同学，有

m

m

m 对好友关系，当其中一对好友关系中的两人

u

i

,

v

i

u_i,v_i

ui​,vi​ 不在同一个大组时，这对关系就无效。

A

r

e

x

t

r

e

\rm Arextre

Arextre 需要把全班划分为

r

r

r 个大组（有序），满足划分后由有效的好友关系组成的图中，每个连通块都存在欧拉回路（注意：每个大组不必连通）。

A

r

e

x

t

r

e

\rm Arextre

Arextre 已经划分好了，方案还不能公开，但是好友关系是知道的。你很好奇，

r

r

r 的最小值是多少，以及满足

r

r

r 取最小值时的划分方案数是多少，方案数对 998244353 取模。

数据范围：

n

≤

2000
  

,
  

m

≤

1

0

5

n\leq2000\;,\;m\leq10^5

n≤2000,m≤105

样例输入

4 5
1 2
2 3
3 1
2 4
3 4

样例输出

2 4

题解

根据欧拉回路的性质，一个无向连通图存在欧拉回路当且仅当每个点的度数都为偶数

首先，如果整张图本来每个点的度数就为偶数，那么直接 {printf("1 1");return 0;} 完事，这个应该很好判断。

然后，我们可以证明

r

r

r 最小为

2

2

2 ：

此时考虑怎么安排每个点，我们令

x

i

=

0

/

1

x_i=0/1

xi​=0/1 表示组号，0 表示在 0 大组，1 表示在 1 大组，于是每个点的度数奇偶性就为

⨁

i

→

j

(

x

i

⊕

x

j

⊕

1

)

\bigoplus_{i\rightarrow j}(x_i\oplus x_j\oplus 1)

i→j⨁​(xi​⊕xj​⊕1)

把这个线性异或方程组拿去高斯消元，若无解，也就是左边全消完，右边剩个 1。一开始的每个方程等式右边是原先度数的奇偶性，左边是邻接矩阵的第

i

i

i 行再在第

i

i

i 个位置异或度数。方程互消相当于异或，选一些方程异或起来，如果左边等于 0，相当于原图中的一个连通块、再加上若干个与该连通块连边数为偶数的点（不然不会异或出 0），连通块外的点对等式右边的贡献肯定就是偶数了，连通块内的点则满足每一条边贡献度数为 2，那么度数总和为偶数，等式右边也应该是 0。也就是说该方程组不存在无解的情况，一定有解。

既然一定有解，那么方案数就是高斯消元后的自由变元个数了。用 bitset 优化高斯消元，可以做到

O

(

n

3

64

)

O(\frac{n^3}{64})

O(64n3​) 。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 2005
#define BT bitset<2005>
#define DB double
#define LL long long
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
const int MOD = 998244353;
int n,m,i,j,s,o,k;
int g[MAXN][MAXN];
int ind[MAXN];
BT a[MAXN];
int main() {
	freopen("base.in","r",stdin);
	freopen("base.out","w",stdout);
	n = read();m = read();
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		s = read();o = read();
		g[s][o] = g[o][s] = 1;
		ind[s] ++; ind[o] ++;
	}
	bool flag = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) if(ind[i] & 1) flag = 0;
	if(flag) {
		printf("1 1");
		return 0;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		for(int j = 1;j <= n;j ++) {
			if(g[i][j]) {
				a[i][j] = a[i][j]^1;
				a[i][n+1] = a[i][n+1]^1;
				a[i][i] = a[i][i]^1;
			}
		}
	}
	int ans = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		if(!a[i][i]) {
			for(int j = i+1;j <= n;j ++) {
				if(a[j][i]) {
					swap(a[i],a[j]);
					break;
				}
			}
		}
		if(!a[i][i]) {
			ans = ans *2ll % MOD;
			continue;
		}
		for(int j = 1;j <= n;j ++) {
			if(j != i && a[j][i]) {
				a[j] ^= a[i];
			}
		}
	}
	printf("%d %d\n",2,ans);
	return 0;
}