CF1601F Two Sorts

给定 \(n\),将 \(1\sim n\) 按照字典序排序,\(a_i\) 表示第 \(i\) 小的数,求:

\[\left(\sum_{i=1}^{n} ((i-a_i)\bmod 998244353)\right) \bmod 10^9+7
\]

\(1\le n\le 10^{12}\)

Solution

先暴力,我们按照字典序搜索(记 \(\text{cnt}\) 和 \(\text{val}\) 表示第 \(\text{cnt}\) 小的数是 \(\text{val}\))即可线性。

考虑根号分治(不搜索末 \(6\) 位),我们同样搜索,处理到 \(\overline {\text{valxxxxxx}}\) 时(假设 \(\overline{\text{val999999}} \le n\),即没有任何上界限制),会发现可以快速计算这些值的和。

我们记 \(cnt_{x}\) 表示 \(x\) 的排名,\(cnt'_x\) 表示 \(x\) 在 \(\overline {abcdef}\) (\(0\le a,b,c,d,e,f\le 9\),即可以有前导零)的排名。

那么, \(cnt_{\overline {\text{valxxxxxx}}}=cnt_{\overline{\text{val}}}+cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}\),因此可以把贡献拆成:

\[\left((cnt_{\overline{\text{val}}}-10^6\cdot val)+(cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}-\overline{\text{xxxxxx}})\right) \bmod 998244353
\]

因此,我们可以预处理 \(\overline{\text{xxxxxx}}\) 相关的信息,即 \((cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}-\overline{\text{xxxxxx}})\)。

由于上述式子是 \((A+B)\bmod P\) 形式,而 \(0\le A,B<P\),因此值为 \(A+B\) 或 \(A+B-P\),判断这个可以通过一个二分解决。

因此,总时间复杂度 \(\mathcal O(\sqrt{n} \log n)\)。

提一句,这个实在太难表述了,所以可以对照代码阅读。我的代码码量极小,并且是目前的最优解。

CF1601F Two Sorts的更多相关文章

  1. Uva 110 - Meta-Loopless Sorts(!循环,回溯!)

    题目来源:https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=3&pa ...

  2. Uva110 Meta-Loopless Sorts

    Meta-Loopless Sorts Background Sorting holds an important place in computer science. Analyzing and i ...

  3. UVA 110 Meta-Loopless Sorts(输出挺麻烦的。。。)

     Meta-Loopless Sorts  Background Sorting holds an important place in computer science. Analyzing and ...

  4. 普林斯顿大学算法课 Algorithm Part I Week 3 排序的应用 System Sorts

    排序算法有着广泛的应用 典型的应用: 排序名称 排序MP3音乐文件 显示Google的网页排名的搜索结果 按标题顺序列出RSS订阅 排序之后下列问题就变得非常简单了 找出中位数(median) 找出统 ...

  5. Out of Sorts II

    问题 E: Out of Sorts II 时间限制: 1 Sec  内存限制: 128 MB提交: 68  解决: 4[提交] [状态] [讨论版] [命题人:] 题目描述 Keeping an e ...

  6. 2019 GDUT Rating Contest III : Problem A. Out of Sorts

    题面: 传送门 A. Out of Sorts Input file: standard input Output file: standard output Time limit: 1 second M ...

  7. sorts

    各种排序算法: #include <stdio.h> #include <string.h> #include <ctype.h> #include <std ...

  8. 洛谷 P4375 [USACO18OPEN]Out of Sorts G(树状数组求冒泡排序循环次数加强版)

    传送门:Problem 4375 参考资料: [1]:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9662350.html [2]:https://blog.csdn.ne ...

  9. 洛谷 P4378 [USACO18OPEN]Out of Sorts S(树状数组求冒泡排序循环次数)

    传送门:Problem P4378 https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/9833502.html 要回宿舍休息了,题解明天再补吧. 题解: 定义一数组 a[m ...

随机推荐

  1. Javascript Symbol 隐匿的未来之星

    ES6中基础类型增加到了7种,比上一个版本多了一个Symbol,貌似出现了很长时间,但却因没有使用场景,一直当作一个概念层来理解它,我想,用它的最好的方式,还是要主动的去深入了解它吧,所以我从基础部分 ...

  2. 何使用派生类指针指向基类,即downcast向下转型?

    基类指针指向派生类,我们已经很熟了.假如我们想用派生类反过来指向基类,就需要有两个要求:1)马克-to-win:基类指针开始时指向派生类,2)我们还需要清清楚楚的转型一下. if you want t ...

  3. vue Element验证input提示

    <el-form-item prop="userName" class="userName_color"> <b>详细地址<i c ...

  4. 在Wireshrak中使用过滤器——捕获过滤器

    过滤器可以让你找出你所希望进行分析的数据包.简单来说,一个过滤器就是定义了一定条件,用来包含或者排除数据包的表达式.如果你不希望看到一些数据包,你可以写一恶搞过滤器来屏蔽它们.如果你希望只看到某些数据 ...

  5. spring-注入集合对象

    1.创建Stu类 package com.spring.collections; import java.util.Arrays; import java.util.List; import java ...

  6. 企业应用架构研究系列二十七:Vue3.0 之环境的搭建与Vue Antd Admin探索

    开发前端需要准备一些开发工具,这些工具怎么安装就不详细描写了,度娘一些很多很多.主要把核心的开发工具列表一些,这些资源也是非常容易找到和安装的. Node 安装:https://nodejs.org/ ...

  7. 计算机编码规则之:Base64编码

    目录 简介 Base64和它的编码原理 Base64的变体 Base64的编码细节 总结 简介 我们知道计算机中的文件可以分为两种,一种是人肉眼可读的文本类文件,一种是肉眼不可读的二进制文件.一般来说 ...

  8. innodb源码解析 - mem0_.c - 基本内存管理

    The basic element of the memory management is called a memoryheap. A memory heap is conceptually ast ...

  9. 新的 css 子选择器

    1. html 结构 <!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta charset=&quo ...

  10. Java基础语法Day_08(继承、抽象)

    第1节 继承 day09_01_继承的概述 day09_02_继承的格式 day09_03_继承中成员变量的访问特点 day09_04_区分子类方法中重名的三种变量 day09_05_继承中成员方法的 ...