Prim 最小生成树 图解

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什么是生成树

子图：G=<V，E>，G'=<V', E'>，为两个图（V为点集，即图中点的集合，E为边集），如果V'是V的子集且E'是E的子集，则G'是G的子图。

如果V'=V，则称G'为G的生成子图

如果G'是无向生成子图且是树的结构，则为生成树

最小生成树

最小生成树：是一张有权无向连通图中边权和最小的生成树

Prme算法：

维护一个已经加入最小生成树的点的集合C，每次通过一条边连接一个不在这个点集C的点，直到最后形成一个树形结构

Dist(u)表示u点到点集C中的点的最小距离

每次选择一个到点集C距离最小的点加入点集C，并通过加入的点去更新未加入的点到点集C的最小距离（因为C中多加了一个点），直到n个点全部加入点集C或没有点能够加入（不能构成连通图）。

图解

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前言：已经加入点集C的点标记为蓝色，当前加入的点标记为红色，被当前加入的点更新的dist标记为红色。

初始：加入一个初始点A，并通过A更新dist

u	A	B	C	D	E	F
dist(u)	0	3	5	inf	inf	inf

加入第二个点B：B到点集C距离最小，并通过B更新dist

u	A	B	C	D	E	F
dist(u)	0	3	1	8	3	inf

加入第三个点C：C到点集C距离最小，并通过C更新dist

u	A	B	C	D	E	F
dist(u)	0	3	1	8	3	inf

加入第四个点E：E到点集C距离最小，并通过E更新dist

u	A	B	C	D	E	F
dist(u)	0	3	1	2	3	1

加入第五个点F：F到点集C距离最小，并通过F更新dist

u	A	B	C	D	E	F
dist(u)	0	3	1	2	3	1

加入第六个点D：D到点集C距离最小，并通过D更新dist

u	A	B	C	D	E	F
dist(u)	0	3	1	2	3	1

点全部加入点集，Prim算法结束。

复杂度分析：

总共需要加入n个点，每次需要遍历dist数组找最小值，并通过该点更新未加入点集的dist值，即枚举该点连出的边更新对应的dist，故复杂度为：

O（n*n）+    = O（n*n + m）（mi为每个点连出的边的条数，总和为总边数）

伪代码：

int prim()

{

memset(dis, 127, sizeof(dis)); //初始设置为正无穷

memset(vis, 0, sizeof(vis));   //初始设置点均不在点集中,点集为空

ans = 0, cnt = 0;              //初始权值为0

dis[1] = 0;                    // 1加入点集

while (1)

{

int u = -1;

for (int i = 1; i <= n; i++)

{

if (vis[i] == 0 && dis[i] < (1 << 30)) // i点不在点集中并且与点集中的点联通

{

if (u == -1 || dis[i] < dis[u]) // u==-1 ->第一个点可以更新到点集最近的点

{

u = i; //更新最近的点

}

}

}

if (u == -1)

break;            //如果不能找到加入点集的点，则结束算法

cnt++, ans += dis[u]; //点集中点的个数+1，ans加上u连入点集的边权

vis[u] = true;        // vis加入点集

for (auto it : a[u])//a[u]为以u连出的边的点的集合，v为相连的点，w为边权

{

dis[it.v] = min(dis[it.v], it.w); //通过点v连出的边更新不在点集的点的dist值

}

}

if (cnt == n)

return ans; //能够加入n个点构成连通图，生成树则返回权值

else

return -1; //不能形成生成树

}

模板题 

题目链接：最小生成树1 - 题目 - Daimayuan Online Judge

题目描述：

给你一张简单无向连通图，边权都为非负整数。你需要求出它的最小生成树，只需要输出边的权值和即可。

图用以下形式给出：

第一行输入两个整数 n,m，表示图的顶点数、边数，顶点编号从 1 到 n。

接下来 m 行，每行三个整数 x,y,z 表示 x 与 y 之间有一条边，边权为 z。

输入格式：

第一行两个整数 n,m。

接下来 m 行，每行有三个整数，代表一条边。

输出格式：

输出一个数，表示最小生成树的权值和。

数据规模：

对于所有数据，保证 2≤n≤1000,n−1≤m≤100000,1≤x,y≤n,x≠y,1≤z≤10000

样例输入：

4 4

1 2 1

2 3 3

3 4 1

1 4 2

样例输出：

4

 详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dis[100009], cnt, ans, n, m; // dis为点到点集的最小距离，cnt为点集中点的个数，ans为当前的边权和
bool vis[100009];
struct node
{
    int v, w;
};
vector<node> a[100009]; //存图
int prim()
{
    memset(dis, 127, sizeof(dis)); //初始设置为正无穷
    memset(vis, 0, sizeof(vis));   //初始设置点均不在点集中,点集为空
    ans = 0, cnt = 0;              //初始权值为0
    dis[1] = 0;                    // 1加入点集
    while (1)
    {
        int u = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) //遍历找未加入点集的最小距离的点
        {
            if (vis[i] == 0 && dis[i] < (1 << 30)) // i点不在点集中并且与点集中的点联通
            {
                if (u == -1 || dis[i] < dis[u]) // u==-1 ->第一个点可以更新到点集最近的点
                {
                    u = i; //更新最近的点
                }
            }
        }
        if (u == -1)
            break;            //如果不能找到加入点集的点，则结束算法
        cnt++, ans += dis[u]; //点集中点的个数+1，ans加上u连入点集的边权
        vis[u] = true;        // vis加入点集
        for (auto it : a[u])
        {
            dis[it.v] = min(dis[it.v], it.w); //通过点v连出的边更新不在点集的点的dist值
        }
    }
    if (cnt == n)
        return ans; //能够加入n个点构成连通图，生成树则返回权值
    else
        return -1; //不能形成生成树
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        node t1, t2; //无向图存边
        t1.v = v, t1.w = w;
        a[u].push_back(t1); // u->v 边权为w
        t2.v = u, t2.w = w;
        a[v].push_back(t2); // v->u 边权为w
    }
    cout << prim();
}

 参考文献：

2022 Namomo Spring Camp Div2 Day10 直播课

ending

有什么错误之处欢迎指正！不胜感激！

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