CF1557总结

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Codeforces Round #737 (Div. 2)

先看了 A 。意思是要把序列分成两个子序列，使得两序列各自平均值的和最小，输出最小值，要求 \(O(n)\) 。想半天然后猜结论，搞了十来分钟结果发现好像可以直接拿最大的分一组。其他的分一组，然后几分钟打完发现是对的。

然后看B，是问把序列断成 \(k\) 块，再重拼能不能给他排好序。看到 \(T \le 10^3\) ，\(N \le 10^5\) ，以为是 \(O(n)\) ，但我只会离散化然后统计有几个地方要断开，而离散化是带 \(log\)​ 的。于是放下 B 看了 C 。

C 很有意思，是一道数论题。问有多少构造正整数集合 \(S\)​ 方案可以使得其与和大于等于异或和。题目中对 \(S\) 的限制还有：必须包含 \(n\)​ 个元素，且每个元素都要小于 \(2^k\)​ 。显然，最后一个限制是说元素二进制下为 \(k\)​​ 位。那我们套路地考虑从大向小的一个比较过程，因为位运算中每一位是独立的，而且如果前面的位有了区别，那后面的位是没有贡献的。考虑从当前位开始比较，那么当有奇数个 \(1\) 且不是所有数都是 \(1\) 时，对答案没有贡献（异或和比较大）。当有偶数个 \(1\) 而且也不是全 \(1\) 时，还是分不出大小，所以这些情况需要留到下一位去解决。有奇数个 \(1\) 而且全都是 \(1\) 时，也是不分大小。而当有偶数个 \(1\) 且全部是 \(1\)​ 时，已经可以对答案进行贡献了。然后把每种的当前位方案数，得到的贡献算一下，然后递归或者递推一下就行了。

这时候回到 B ，发现数据范围其实是 \(\sum n \le 3 \times 10^5\)​ ，那就用前面提到的 \(O(n\log n)\)​​ 离散化做法即可。

然后来看D，就是问，给定一个长度为 \(n\) 的有序序列，每个元素是一个区间集合，最少删去多少个，使得剩下的序列中，每两个相邻的区间集合都相连，相邻两个区间集合连在一起定义为 \(S_1\) 中某个区间与 \(S_2\) 中某区间有交集。总区间数为 \(m\) 。复杂度要求是 \(O(n\log n)\) 级别。我乱想半天，什么鬼都没想到，就想到均摊 \(O(nm)\) 的能否连的预处理。估计着也写不出来了，于是弃疗，口胡起来。结果口胡一个 DP ，三维。乱想两下，发现可以变成一维。即设 \(dp_i\) 表示已经处理前 \(i\) 个区间集合，且最后一个保留的区间集合是 \(i\) 时，最小的删除数。然后考虑转移时 \(dp_i = \min \{ dp_j +(i-j-1)|j\text{与}i\text{相连}\}\) 这时候如何做到 \(O(\log n)\) 转移。显然要离散化，然后我最开始想到要把 \(j\) 用挂表法挂在塔包含的区间中，然后就可以访问到每一个可能转移的 \(j\) 。继续优化，考虑转化方程，提出 \(i\) 来，就是\(dp_i = \min \{ dp_j -j|j\text{与}i\text{相连}\}+i-1\) 这样，我们就不需要挂表了，直接考虑在这个区间的最小值更新一下。想到这里，显然可以直接线段树维护一下。至于复杂度，总的区间数是 \(m\) 个，离散化后要 \(4m\) 个位置，所以复杂度实际上是 \(O(n+m\log(4m))=O(m\log m)\)​。可惜的是，到最后结束5分钟才写出来，而且懒得再维护方案了（光是求答案就花了25分钟）。结束后，PCQ 说这个题很套路，反正我是没见过这类的套路，不过我的思路确实绕了个大圈子才想到正解。

E 也蛮有意思，是个国际象棋交互，你控制后，对面有只王。你不知道王的位置，但知道你每走一步后王往哪个方向走了。要求你在 \(130\) 步内让王无路可走。CZA 说有点感觉了，和吟唱的金色花海有点像。