HDU 2191 悼念汶川地震（多重背包）

思路：

　　多重背包转成01背包，怎么转？把一种大米看成一堆单个的物品，每件物品要么装入，要么不装。复杂度比01背包要大。时间复杂度为O(vns)（这里S是所有物品的数量s之和）。这个做法太粗糙了，但就是AC了。假如某一种大米有很多件，那麻烦大了。

　　0MS　　1084K　　706B　　C++

　　这是用“单纯转01背包”实现的，速度还这么快，还需优化不？

 # include <stdio.h>
 # include <string.h>
 int dp[] ;//转成01背包的解法，没有任何优化。
 int max(int a,int b)
 {
     return a>b?a:b;
 }
 int main ()
 {
     int T, ans, n, m ;
     int p, h, c, i, j ;
     scanf ("%d", &T) ;
     while (T--)
     {
         scanf ("%d%d", &n, &m) ;    //n是经费，m是种类
         memset (dp, , sizeof(dp)) ;
         ans =  ;
         while (m--)
         {
             scanf ("%d%d%d", &p, &h, &c) ;
             for(i =  ; i<=c ; i++)        //m是经费
             {
                 for(j = n ; j >= p ;j--)
                 {
                     dp[j]=max(dp[j],dp[j-p]+h);
                 }
             }
         }
         printf ("%d\n", dp[n]) ;
     }
     return  ;
 }

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未实现的想法：按照完全背包的做法，在里面加一些东西来控制“数量不够”的情况。当数量已达上限，用做大数量来代替，那么需要比较的两个dp值就是dp[j]与dp[j-1]，分别代表不装、装满。另用一个数组来记录每个不同的经费上限对应dp数组中所用的第i种大米的数量。这个数组要在不同i时更新为0，有开销。这个想法实现不了。

 #include <iostream>
 #define limit 110
 using namespace std;
 int p[limit];    //单价
 int h[limit];    //净重
 int c[limit];    //数量上限
 int u[limit];    //已买的数量
 int dp[limit];
 int max(int a,int b)
 {
     return a>b?a:b;
 }
 void cal(int n,int m)
 {
     int temp=,j,i;
     for(i=;i<m;i++)
     {
         for(j=;j<=n;j++)    //初始化数组u
             u[j]=;
         for( j=p[i];j<=n;j++)
         {
             temp=max( dp[j],dp[j-p[i]]+h[i] );
             if(temp==dp[j-p[i]]+h[i])    //需要加多一件
             {
                 if(u[j-p[i]]<c[i])    //第i件还有剩余，可以买。
                 {
                     u[j]=u[j-p[i]]+;
                     dp[j]=temp;
                 }
                 else    //被用光了，但是为了防止前大于后的情况，在不能追加的情况下，仍需比较前后的大小，保证后总大于前
                 {
                     dp[j]=max(dp[j-],dp[j]);    //仅需比较1个，因前面每个所使用的并不是升序的，可能无序的
                     if(dp[j]==dp[j-])
                         u[j]=u[j-];//因为u[j]本来就是0，所以else的情况不用赋零
                 }
             }
         }
     }
     return;
 }
 void main()
 {
     int q,n,m,i;
     scanf("%d",&q);
     while(q--)
     {
         memset(dp,,sizeof(dp));
         scanf("%d%d",&n,&m);    //经费的金额   大米的种类
         for(i=;i<m;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);    //分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
         }
         cal(n,m);
         printf("%d\n",dp[n]);
     }
 }

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可行的思路①：01背包+二进制法。 二进制的真谛啊。

 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define limit 110
 using namespace std;
 int p[limit];    //单价
 int h[limit];    //净重
 int c[limit];    //数量上限
 int dp[limit];

 int max(int a,int b)
 {
     return a>b?a:b;
 }
 void cal(int n,int m)
 {
     int temp=,j,i,k,nCount;
     for(i=;i<m;i++)
     {
         k = ;
         nCount = c[i];
         while(k <= nCount)
         {
             for( j=n;j>=k*p[i];j--)
             {
                 dp[j] = max(dp[j],dp[j - k*p[i]] + k*h[i]);
             }
             nCount -= k;
             k <<= ;    // <<就是左移
         }
         if(nCount!=)    // 不是刚好2的几次方，另外处理
             for( j=n; j>=nCount*p[i] ;j-- )
             {
                 dp[j] = max( dp[j] , dp[j - nCount*p[i]] + nCount*h[i] );
             }
     }
 }
 void main()
 {
     int q,n,m,i;
     scanf("%d",&q);
     while(q--)
     {
         memset(dp,,sizeof(dp));
         scanf("%d%d",&n,&m);    //经费的金额   大米的种类
         for(i=;i<m;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);    //分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
         }
         cal(n,m);
         printf("%d\n",dp[n]);
     }
 }

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　　讲一下用01背包+二进制法：将每种大米的件数分成1,2,4,8,16,32....这么多份，即1+2+4+8+....=第i种大米的件数。 在分的时候最后一件不一定刚好是2的几次方形式，是多少就是多少，待单独处理。那么假如13就分成了1，2，4，6了，这里的6就是不足2^3=8才是6的。在单纯转01背包的方式中，每种大米的每一件都单独处理，而二进制法是将分好的几件归为一件对待。比如第一种大米是13件，在单纯转01背包时，最里层是需要13次循环的，但是在二进制法的01背包中，它被分成1，2，4，6件共4堆，我们把每堆当成一件，捆绑在一起的，在更新dp数组的时候按大小的顺序来循环，即第1次循环是1件，第2次循环是2件套装，第3次循环是4件套，第4次循环是6件套。这里的最里层循环就变成了4次循环了。减少的计算量是很客观的。

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可行的思路②：在转成01背包上作优化。完全背包+01背包来解，即：某一种大米的数量*单价>=经费，那么就是完全背包型；否则就是01背包型。但如果遇到都是01背包型，此优化没用了。

 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define limit 110
 using namespace std;
 int p[limit];    //单价
 int h[limit];    //净重
 int c[limit];    //数量上限
 int dp[limit];
 int n,m;
 int max(int a,int b)
 {
     return a>b?a:b;
 }
 void _01pack(int n_p,int n_h)    //01背包
 {
     for (int j = n;j >= n_p;j--)
     {
         dp[j] = max(dp[j],dp[j - n_p] + n_h);
     }
 }
 void cpack(int n_p,int n_h)    //完全背包
 {
     for (int j = n_p;j <= n;j++)
     {
         dp[j] = max(dp[j],dp[j - n_p] + n_h);
     }
 }

 void cal()
 {
     int i,k,nCount;
     for(i=;i<m;i++)
     {
         if (p[i] * c[i] >= n)
             cpack(p[i],h[i]);
         else
         {
             k = ;
             nCount = c[i];
             while(k <= nCount)
             {
                 _01pack(k * p[i],k * h[i]);
                 nCount -= k;
                 k *= ;
             }
             _01pack(nCount * p[i],nCount * h[i]);
         }
     }
 }
 void main()
 {
     int q,i;
     scanf("%d",&q);
     while(q--)
     {
         memset(dp,,sizeof(dp));
         scanf("%d%d",&n,&m);    //经费的金额   大米的种类
         for(i=;i<m;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);    //分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
         }
         cal();
         printf("%d\n",dp[n]);
     }
 }

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15MS　　1096K　　1181B　　c++ 　　

其他可行的思路：队列法。复杂度为O（vn），还没理解。所以没代码。