CF755G PolandBall and Many Other Balls/soj 57送饮料

题意：长度为n的序列，相邻两个或单独一个可以划分到一个组，每个元素最多处于一个组。

问恰好分割成k(1<=k<=m)段有多少种方案？

标程：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=;
 const int rt=;
 const int N=;
 int l,_n,pos[N],n,k,a[N],b[N],c[N],x1[N],x2[N],x3[N],x4[N],w[N],wn,inv_n;
 int ksm(int x,int y)
 {
     int res=;
     while (y) {if (y&) res=(ll)res*x%mod; x=(ll)x*x%mod; y>>=;}
     return res;
 }
 void init(int n)
 {
     l=;
     while ((<<l)<=n) l++;//注意位长的处理，判断条件是(1<<l)<=n
     _n=<<l;wn=ksm(rt,<<-l);
     w[]=;inv_n=ksm(_n,mod-);
     for (int i=;i<_n;i++)
       w[i]=(ll)w[i-]*wn%mod,pos[i]=(i&)?pos[i-]|(<<(l-)):pos[i>>]>>;
 }
 void fft(int *a,int op)
 {
     for (int i=;i<_n;i++) if (i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
     int len=,id=_n;
     for (int i=;i<l;i++)
     {
       int wn=w[id>>=];
       for (int j=;j<_n;j+=len*)
         for (int k=j,w=;k<j+len;k++)
         {
              int l=a[k],r=(ll)a[k+len]*w%mod;
              a[k]=((ll)l+r)%mod;a[k+len]=((ll)l-r+mod)%mod;
              w=(ll)w*wn%mod;
          }
       len<<=;
     }
     if (op==-) {
         reverse(a+,a+_n);
         for (int i=;i<_n;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv_n%mod;
     }
 }
 void merge(int *a,int *b,int *c)
 {
     c[]=;
     for (int i=;i<=k;i++) c[i]=((ll)((ll)b[i]+b[i-])%mod+a[i-])%mod;
     for (int i=k+;i<_n;i++) c[i]=;
 }
 void solve(int n)
 {
     if (n==)
     {
         a[]=;for (int i=;i<_n;i++) a[i]=;
         b[]=b[]=;for (int i=;i<_n;i++) b[i]=;
         return;
     }
     if (n==)
     {
         a[]=a[]=;for (int i=;i<_n;i++) a[i]=;
         b[]=b[]=;b[]=;for (int i=;i<_n;i++) b[i]=;
         return;
     }
     solve(n/-);
     merge(a,b,c);
    for (int i=k+;i<_n;i++) a[i]=b[i]=;
    fft(a,);fft(b,);fft(c,);
    for (int i=;i<_n;i++)
    {
        x1[i]=(ll)a[i]*a[i]%mod;
        x2[i]=(ll)b[i]*b[i]%mod;
        x3[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
        x4[i]=(ll)b[i]*c[i]%mod;
     }
     fft(x1,-);fft(x2,-);fft(x3,-);fft(x4,-);
     for (int i=;i<_n;i++)//从1开始，注意边界
       x2[i]=((ll)x2[i]+x1[i-])%mod,x4[i]=((ll)x4[i]+x3[i-])%mod;
     if (n&)
     {
         merge(x2,x4,b);
         for (int i=;i<_n;i++) a[i]=x4[i];
     }else
       for (int i=;i<_n;i++) a[i]=x2[i],b[i]=x4[i];
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&k);
     init(*k+); solve(n);
     for (int i=;i<=k;i++) printf("%d ",a[i]);
     puts("");
    return ;
 }

题解：fft+分治+dp

可以得到递推式:f[i(元素数)][j(段数)]=f[i-1][j-1]+f[i-2][j-1]+f[i-1][j]。

f(n)=f(n-1)*(1+x)+f(n-2)*x.

一个方法是带权斐波那契通项展开，并不会多项式开根。

另一个方法，考虑f(a+b)=f(a)*f(b)+f(a-1)*f(b-1)*x。（根据在a,b处能否断开讨论）

分治下去，f(i),f(i+1)->f(i+2) f(2i+2)=f(i+1)*f(i+1)+f(i)*f(i)*x

f(2i+3)=f(i+1)*f(i+2)+f(i)*f(i+1)*x  f(2i+4)=f(i+2)*f(i+2)+f(i+1)*f(i+1)*x

注意n的奇偶要讨论，m以后的k不用计算。时间复杂度O(mlog^2(m))。