hdu3507 Print Article[斜率优化dp入门题]
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One day Zero want to print an article which has N words, and each word i has a cost Ci to be printed. Also, Zero know that print k words in one line will cost
M is a const number.
Now Zero want to know the minimum cost in order to arrange the article perfectly.
5
9
5
7
5
大概题意就是要输出N个数字a[N],输出的时候可以连续连续的输出,每连续输出一串,它的费用是 “这串数字和的平方加上一个常数M”。
我们设dp[i]表示输出到i的时候最少的花费,sum[i]表示从a[1]到a[i]的数字和。于是方程就是:
dp[i]=dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2;
很显然这个是一个二维的。题目的数字有500000个,不用试了,二维铁定超时了。那我们就来试试斜率优化吧,看看是如何做到从O(n^2)复杂度降到O(n)的。
分析:
我们假设k<j<i。如果在j的时候决策要比在k的时候决策好,那么也是就是dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2。(因为是最小花费嘛,所以优就是小于)
两边移项一下,得到:(dp[j]+num[j]^2-(dp[k]+num[k]^2))/(2*(num[j]-num[k]))<sum[i]。我们把dp[j]-num[j]^2看做是yj,把2*num[j]看成是xj。
那么不就是yj-yk/xj-xk<sum[i]么? 左边是不是斜率的表示?
那么yj-yk/xj-xk<sum[i]说明了什么呢? 我们前面是不是假设j的决策比k的决策要好才得到这个表示的? 如果是的话,那么就说明g[j,k]=yj-jk/xj-xk<sum[i]代表这j的决策比k的决策要更优。
关键的来了:现在从左到右,还是设k<j<i,如果g[i,j]<g[j,k],那么j点便永远不可能成为最优解,可以直接将它踢出我们的最优解集。为什么呢?
我们假设g[i,j]<sum[i],那么就是说i点要比j点优,排除j点。
如果g[i,j]>=sum[i],那么j点此时是比i点要更优,但是同时g[j,k]>g[i,j]>sum[i]。这说明还有k点会比j点更优,同样排除j点。
排除多余的点,这便是一种优化!
接下来看看如何找最优解。
设k<j<i。
由于我们排除了g[i,j]<g[j,k]的情况,所以整个有效点集呈现一种上凸性质,即k j的斜率要大于j i的斜率。
这样,从左到右,斜率之间就是单调递减的了。当我们的最优解取得在j点的时候,那么k点不可能再取得比j点更优的解了,于是k点也可以排除。换句话说,j点之前的点全部不可能再比j点更优了,可以全部从解集中排除。
于是对于这题我们对于斜率优化做法可以总结如下:
1,用一个单调队列来维护解集。
2,假设队列中从头到尾已经有元素a b c。那么当d要入队的时候,我们维护队列的上凸性质,即如果g[d,c]<g[c,b],那么就将c点删除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]为止,并将d点加入在该位置中。
3,求解时候,从队头开始,如果已有元素a b c,当i点要求解时,如果g[b,a]<sum[i],那么说明b点比a点更优,a点可以排除,于是a出队。最后dp[i]=getDp(q[head])。
#include<cstdio>
#define pf(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const int N=5e5+;
int n,sum[N],q[N];
int m,f[N];
inline int gety(int j,int k){
return f[j]+pf(sum[j])-(f[k]+pf(sum[k]));
}
inline int getx(int j,int k){
return sum[j]-sum[k]<<;
}
int main(){
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",sum+i),sum[i]+=sum[i-];
int h=,t=;q[t]=;
for(int i=;i<=n;i++){
for(;h<t&&gety(q[h+],q[h])<=sum[i]*getx(q[h+],q[h]);h++);
f[i]=f[q[h]]+pf(sum[i]-sum[q[h]])+m;
for(;h<t&&gety(i,q[t])*getx(q[t],q[t-])<=gety(q[t],q[t-])*getx(i,q[t]);t--);
q[++t]=i;
}
printf("%d\n",f[n]);
}
return ;
}
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