BZOJ2302 [HAOI2011]Problem c
Description
Input
第一行一个整数T,表示数据组数
对于每组数据,第一行有三个整数,分别表示n、m、M
若m不为0,则接下来一行有m对整数,p1、q1,p2、q2 ,…, pm、qm,其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi
Output
对于每组数据输出一行,若是有解则输出YES,后跟一个整数表示方案数mod M,注意,YES和数之间只有一个空格,否则输出NO
Sample Input
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10
Sample Output
YES 4
NO
HINT
100%的数据满足:1≤T≤10,1≤n≤300,0≤m≤n,2≤M≤109,1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。
正解:DP+组合数学
解题报告:
考虑一个方案如果合法,那么对于任何一个编号i,都可以保证编号小于等于i的人数大于等于i,可以yy一下,肯定是对的,如果不满足的话直接输出NO就可以了。
然后我们统计一下那些固定的编号,另外的非固定的编号我们可以都视为0,因为实际上这些人是没有任何区别的而且可以随意编号。
我们接着统计一下前缀和,只要发现不合法了就直接break掉。
然后就是DP部分啦,f[i][j]表示有j个人编号小于等于i的方案数,显然i<=j,那么我们可以考虑如何从i-1转移到i。因为是从i-1转移过来,那么显然我们需要知道编号确定为i的人究竟有多少个。所以我们可以枚举这一位,也就是i,编号恰好为i的人数k。那么这个人数k显然最少为num[i],也就是编号必须为i的人数,另外我们需要知道小于等于i的人有j个,所以同样需要枚举。j的范围是i到sum[i](最多为sum[i],相当于是能选编号小于等于i的最大人数)。所以上一位一共选了j-k个人(这一位新选了k个,一共是j个人),所以就可以从f[i-1][j-k]转移过来。那么这一位一共要选出k-num[i]个人编号为i,因为num[i]是必须要编号为i的人数,所以剩下的才是可供自由支配的。然后总人数呢?就是sum[i]-(j-k)也就是说这一位最多选sum[i],上一位选了(j-k),可知这一位最多选sum[i]-num[i]-j+k个人,也就是可以自由支配的总数。所以只需要把上一位的方案数f[i-1][j-k]乘上一个组合数就可以得到这次的f[i][j]。所以我们要预处理一下组合数。记得取模!
代码如下:
//It is made by jump~
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf = (<<);
const int MAXN = ;
#define RG register
int n,m,MOD;
int sum[MAXN],num[MAXN];
LL C[MAXN][MAXN];
LL f[MAXN][MAXN];//f[i][j]表示有j个人编号小于等于i的方案数,显然i<=j inline int getint()
{
RG int w=,q=; RG char c=getchar();
while((c<'' || c>'') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=,c=getchar();
while (c>='' && c<='') w=w*+c-'', c=getchar(); return q ? -w : w;
} inline void work(){
RG int T=getint(); RG int x;
while(T--) {
memset(sum,,sizeof(sum)); memset(num,,sizeof(num)); memset(C,,sizeof(C)); memset(f,,sizeof(f));
n=getint();m=getint();MOD=getint(); C[][]=;
for(RG int i=;i<=n;i++) { C[i][]=;for(RG int j=;j<=i;j++) C[i][j]=C[i-][j-]+C[i-][j],C[i][j]%=MOD; }//递推组合数
for(RG int i=;i<=m;i++) x=getint(),x=getint(),num[x]++;
RG bool flag=true; sum[]=n-m;//默认为编号为0
for(int i=;i<=n;i++) { sum[i]=sum[i-]+num[i]; if(sum[i]<i) { flag=false; break; } }
if(!flag) { printf("NO\n"); continue;}
f[][]=;//初值
for(RG int i=;i<=n;i++)
for(RG int j=i;j<=sum[i];j++) {//这一个编号有多少个人
for(RG int k=num[i];k<=j-i+;k++)//这一个编号新选k个人,那么上一个编号选了j-k个,这一位最多j-i+1个,即上一位选了i-1个
f[i][j]+=f[i-][j-k]*C[sum[i]-num[i]-j+k][k-num[i]],f[i][j]%=MOD;//一共有sum[i]-num[i]-(j-k)个人可以选,这一位必须要选的有num[i]个,然后自由选的从中选就有k-num[i]个
}
printf("YES %lld\n",f[n][n]);
}
} int main()
{
work();
return ;
}
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