2015 CCC - 02 找不匹配

照例传送门CNUOJ - 0385：http://oj.cnuschool.org.cn/oj/home/problem.htm?problemID=355

题目分析：首先感谢”数据结构与算法“群群友的支持与鼓励，没有你们的点拨&鼓励我不可能搞出来的。

这道题如果是暴力枚举循环节的话，可能数据会坑你一下……（只有一个循环节即两数互质= =）那就挂了……暴力好像也能拿30分吧。

这道题算法的雏形是Kael大神弄出来的，他是这么跟我说的：

假设是|T|>|S|，因为|A|=|B|，所以S与T的比较周期有|T|个，再检查S中的每个字符与T中字符不一样的个数，就得到所有周期比较完后的个数，然后把S中每个字符的个数加起来就是答案，如果|A|大于了|T|和|S|的最小公倍数，就把答案乘以M/|T|，M/|T|又是新一轮周期。

为什么S与T的比较周期有|T|个呢？通俗的说就是S中的每个字符都会跟T中的每个字符进行对位一次，而再次当S第一个字符与T第一个字符对位时，就是进行了|T|个周期了。

看不懂是吧？知道你也不会好好看，我来给你分析一下= =

比如这两个长度互质的串：

把长度标上后，让我们关注一下S串头元素进行了哪几次比较：

可以看到共有4次比较（用深绿色圆圈表示），我们发现这不就是T串里的4个元素吗？

好，那我们看看在T串上S的头元素是怎么比较的：

上面四个是S串，底下的是T串。我们来举一个例子：

所以说头元素贡献了3份答案。

那么显而易见，不仅S串头元素会全都比较T串的四个元素，第二个、第三个元素也会比较，我们再画一个清晰的图：

上面是S串，下面是T串，先让上面最左边的”a“进行一次全部比较，可以看到有2个答案。

第二个元素同理有三个答案。

第三、第四个S串里的”a“元素答案一定和answer1是一样的（想一想，为什么？）

最后根据加法、乘法原理，答案应该是：3 * answer1 + 1 * answer2 = 3 * 2 + 1 * 3 = 9;

画回最原始的图再看一眼：

答案正确。此输入应该是：5 4 abaa abbaa 输出是：9

那如果输入的是10 8 abaa abbaa呢？

那么就应该有两个循环节了，答案是18。

那么至此为止，两字串长度互质的情况我们已经会算了，可以用两个哈希表vis_S[27], vis_T[27]分别表示26个小写字母在S串和T串中分别出现了几次。

程序不难写出，建议读者好好看一眼哈希表的使用，为下边打好基础：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 
 void read(int& x)
 {
     x = ;
     int sig = ;
     char ch = getchar();
 
     while(!isdigit(ch))
     {
         if(ch == '-') sig = -;
         ch = getchar();
     }
 
     while(isdigit(ch))
     {
         x = x *  + ch - '';
         ch = getchar();
     }
 
     return ;
 }
 
 int tot;
 
 long long ans;
 
 const int maxn =  + ;
 
 char S[maxn], T[maxn];
 int T1, T2;
 
 int vis[][];
 
 int read_str1()
 {
     char tmp = getchar();
 
     while(!isalpha(tmp)) tmp = getchar();
 
     tot = ;
 
     while(isalpha(tmp))
     {
         S[tot++] = tmp;
 
         vis[][tmp - 'a']++;
 
         tmp = getchar();
     }
 
     S[tot] = '\0';
     return tot;
 }
 
 int read_str2()
 {
     char tmp = getchar();
 
     while(!isalpha(tmp)) tmp = getchar();
 
     tot = ;
 
     while(isalpha(tmp))
     {
         T[tot++] = tmp;
 
         vis[][tmp - 'a']++;
 
         tmp = getchar();
     }
 
     T[tot] = '\0';
     return tot;
 }
 
 void vis_init()
 {
     long long tmp;
 
     for(int i = ; i < ; i++)
     {
         tmp = ;
         for(int j = ; j < ; j++)
         {
             if(i == j) continue;
             tmp += vis[][j];
         }
         ans += vis[][i] * tmp;
     }
 
     return ;
 }
 
 int main()
 {
     read(T1);
     read(T2);
 
     int s1 = read_str1();
     int s2 = read_str2();
 
     vis_init();
 
     ans = (long long)((double)ans * ((double)T1 / (double)s2));
     //记得是同时约了一个s1
 
     printf("%lld\n", ans);
 
     return ;
 }

好，那么我们来看看非互质的情况：

先来说一下为啥互质与非互质不同，感谢路人们贡献的反例：

比如 3 2 abac ababac:

如果用互质法来解答案应该是：2 * 3 + 1 * 4 + 1 * 5 = 15 （想想都觉得多= =）

正解看下图：

正解是3，少了一大堆，那为啥一不互质就不行了呢？

先来看以前那个图：

可以看到，上面的S串的头元素（还记得吗？）与下面的T串全都进行了比较。但是在非互质情况里则不一定，我们来看一眼刚才那个例子：

S串头元素与T串的1,3,5进行比较（注意不是全部元素了！）

S串第二元素元素与T串的2,4,6进行比较：（S和T老忘了打你们将就看吧……）

S串第三元素元素与T串的1,3,5进行比较：

（插：你们写博客一定要随时保存，刚才一断网后面写的全没了TAT，还有插图一定要随时保存TAT）

那么我们来看，对于S串的元素来说，他们都和T串的一个子串相对应（在这里就是1,3,5 和 2,4,6）

把S串的每一个元素单独分析，对于S串第一个元素a，在第一个子串（以后讲为什么叫做“第一个”）中进行询问，答案是0。

对于S串第二个元素b，在第二个子串中进行询问，答案是1。

同理，对于S串第三、四个元素a、c，分别在第一、二个子串中进行询问，答案是0和2。

与互质算法同理，得到最后的答案0 + 1 + 0 + 2 = 3

在分析过程中我们为了区分不同的T串的子串所以给他们分别表上了号，待会会再说这个编号。

那么这些字串有什么规律呢？首先可以看出来他们是穿插的，其次发现他们每个串的“间隔”是一样的，比如看上面的图：绿色的1号子串aaa中每个a都差了2个格（我们定义相邻为差了一个空格），黄色的2号子串bbc中每个元素也都差了2个格。这个2有什么特殊含义呢？请读者自己画一画下面两个数据的子串。

1.  4 2 ab abac

2.  9 3 ab ababac

不难发现（这四个字会不会伤了很多人的心…），两个字串长度的最大公约数即是子串元素间的间隔长度 以及子串的个数

那我们可以借此规律为子串标号，还是上图，绿色的就叫1号，黄色的就叫2号。因此我们将T串分成了许多个相互穿插的子串，每一部分都可以用互质算法进行求解，不再赘述。

还有很关键的一点是：如何存放这些子串的信息？原来存放一个T串我们用了只一个哈希表，那么现在我们可以用标号造一大堆哈希表分别对应每一个子串。说白了，就是在vis前面再多一维度。

我们用vis1[id][i]表示S串内第id个串中字母i出现的次数（这里是字母编号），相应的，用vis2[id][i]表示T串内第id个串中字母i出现的次数。

下面给出代码，请读者留意哈希表id的运用。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 
 void read(int& x)
 {
     x = ;
     int sig = ;
     char ch = getchar();
 
     while(!isdigit(ch))
     {
         if(ch == '-') sig = -;
         ch = getchar();
     }
 
     while(isdigit(ch))
     {
         x = x *  + ch - '';
         ch = getchar();
     }
 
     return ;
 }
 
 int gcd(int a, int b)
 {
     return b ==  ? a: gcd(b, a % b);
 }
 
 int tot;
 
 long long ans;
 
 const int maxn =  + ;
 
 char S[maxn], T[maxn];
 int T1, T2;
 
 int vis1[maxn/][];    //放maxn内存超限，具体情况看下文分析。
 int vis2[maxn/][];
 
 int HASH;
 
 int s1, s2;
 
 int read_str1()
 {
     char tmp = getchar();
 
     while(!isalpha(tmp)) tmp = getchar();
 
     tot = ;
 
     while(isalpha(tmp))
     {
         S[tot++] = tmp;
         tmp = getchar();
     }
 
     S[tot] = '\0';
     return tot;
 
 }
 
 int read_str2()
 {
     char tmp = getchar();
 
     while(!isalpha(tmp)) tmp = getchar();
 
     tot = ;
 
     while(isalpha(tmp))
     {
         T[tot++] = tmp;
         tmp = getchar();
     }
 
     T[tot] = '\0';
     return tot;
 }
 
 void solve()
 {
     for(int i = ; i < s1; i++)
       vis1[i % HASH][S[i] - 'a']++;
 
     for(int i = ; i < s2; i++)
       vis2[i % HASH][T[i] - 'a']++;
 
     return ;
 }
 
 void vis_init()
 {
     long long tmp;
 
     for(int id = ; id < HASH; id++)
     {
         for(int i = ; i < ; i++)
         {
             tmp = ;
             for(int j = ; j < ; j++)
             {
                 if(i == j) continue;
                 tmp += vis2[id][j];
             }
             ans += vis1[id][i] * tmp;
         }
     }
 
     return ;
 }
 
 int main()
 {
     read(T1);
     read(T2);
 
     s1 = read_str1();
     s2 = read_str2();
 
     HASH = gcd(s1, s2);
 
     solve();
 
     vis_init();
 
     printf("%lld\n", ans);
 
     return ;
 }

还有一个小问题，就是第41行开哈希表的时候，由于内存不够，我们这里用的是maxn/4，数据通常不会给两个长度相同或呈二倍关系的子串吧？这分就这么到手了。如果要写出完美解答，可以事先加一个判断：如果两字串长度相等或呈2倍关系就直接暴力循环节也行。（此代码略，感兴趣的读者可写一遍）

最后我们来比较一下暴力循环节法和这种数学方法的优劣：

当两字串长度极为接近或互质，那么几乎没有循环节，此数学方法反而效率极高且十分省内存（哈希表成一维了），而暴力循环节绝对会爆掉。

当两字串公共因子极多时，可能会出现大量循环节，这时暴力循环节发效率增高，而此数学方法内存会一下多出很多（效率是不变的，请读者尝试证明）。

所以说，两种方法各有优劣，但综合来看数学方法更加稳定且效率高。如果追求完美，可以尝试一半用暴力一半用数学，程序一秒就能高大上，带你逗逼带你飞~。