【动态规划】天堂(Heaven) 解题报告

天堂(heaven)

题目描述

每一个要上天堂的人都要经历一番考验，当然包括小X，小X开始了他进入天堂的奇异之旅。地狱有18层，天堂竟然和地狱一样，也有很多很多层，天堂共有N层。从下到上依次是第1，2，3，…，N层，天堂的每一层都是一个延伸无限远的地板，在地板上人可以任意走动，层与层之间是平行关系，每一层的地板都是由人不能穿过的物质构成，幸好每一层地板上有且仅有1个人可以通过的洞口。

我们可以把小X和洞口，还有下面提到的气球店都看成点，坐标是二维的。小X开始在第1层的（0，0）.

小X的重量为M，第i层与第i+1层之间的特殊气体能浮起的重量为Wi ,每一层的地面上散落了若干个气球店，多个气球店可以在同一点，每个气球可以浮起的重量是1，去一个气球店一次只能领取一个气球，不能连续在一个气球店领取气球，当然你可以在两个气球店之间来回跑，每个气球店供应的气球都是无限多的。第i层的气球只能在第i层进入第i+1层时使用，当小X在第i层，只有站到了第i+1层洞口的位置（在其它位置不会浮起），并且自身的重量小于等于气球和特殊气体浮起重量的总和，才可以进入第i+1层。小X想知道他要到达第N层走过的长度最少是多少？题目保证有解。

输入文件

第1行： 三个正整数N，M，Q（Q表示气球店）

第2行： 共2*（N-1）个整数，每两个数描述1个洞口坐标，第i对xi,yi表示第i+1层的洞口位置(xi,yi)。

第3行： 共N-1个整数，第i个数为Wi。

往后Q行，每行三个整数x,y,z , 表示第Z层有一个气球店，坐标为（x,y）

输出文件

1个实数L，保留两位小数，表示小X最少要走的长度。

样例输入

3 10 4

0 0 1 2

9 0

0 1 1

2 3 1

0 1 2

1 1 2

样例输出

13.00

【数据范围】

2<=N<=100

每层的气球店数目不超过50。

0<=M<=100,   0<=Wi<=100

坐标-3000<=x,y<=3000

一开始看上去以为和图论有关，没有意识到是DP，用了搜索，居然还得了30分。但是这题每层的气球只在每一层用，只要想到了用DP，以每一层为单位，分别求出最优解。方程就很好想了，转移方程也不是难点。重点在思维，思维没到什么都是白搭。不多说上代码！

 /*
 ID: ringxu97
 LANG: C++
 TASK: heaven
 SOLUTION:动态规划
 */
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<cstdlib>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int MAXM=+,MAXN=+,MAXW=+,MAXQ=+;
 const double maxlen=0x7fffffff;//用极大值定义最远的距离
 const double err=1e-;
 double opt[MAXM][MAXQ];//储存动归状态
 //opt[i][j]表示在一层中最买已经买到到i个气体并且在第j个商店时走的最少距离
 //状态转移方程为opt[i][j]=min{opt[i-1][k]+distance(k,j) | k!=j}
 struct point//定义点的结构体
 {
     int x,y;//所有点都是整数点
     point(){x=y=;}
     point(int i,int j){x=i;y=j;}
     double dist(point a)//成员函数，用于计算距离
     {
         return (double)sqrt( (a.x-x)*(a.x-x) + (a.y-y)*(a.y-y));//直接带入公式计算
     }
 };
 vector<point>shop[MAXN];//使用邻接链表储存每一层的商店，节约空间并给商店编号，方便状态转移
 point hole[MAXN];//每一层洞口的位置
 int W[MAXN];//气体的浮力
 int N,M,Q; 
 
 void readdata()//数据的读入，注意邻接链表的处理
 {
     scanf("%d%d%d",&N,&M,&Q);
     for(int i=;i<N;++i)scanf("%d%d",&hole[i].x,&hole[i].y);
     for(int i=;i<N;++i)scanf("%d",W+i);
     for(int i=;i<=Q;++i)
     {
         int x,y,z;
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         point tmp(x,y);
         shop[z].push_back(tmp);
     }
 }
 int main()
 {
     freopen("heaven.in", "r", stdin);
     freopen("heaven.out", "w", stdout);
     readdata();
     point pos(,);//pos储存当前所在的位置，初始在(0,0)
     double d=;//记录已经走过的距离
     for(int f=;f<N;++f)//循环计算每一层楼的情况
     {
         int buy=M-W[f]>?M-W[f]:;//需要购买的气球数量，注意如果浮力大于体重则不需要购买，即购买数量为0
         double best=maxlen;//动归过程中储存最优值的变量，初始为无穷大
         if(buy)
         {
             memset(opt,,sizeof(opt));//每一层动归前，初始化数组
             int border=shop[f].size();//邻接表的边界
             for(int i=;i<border;++i)
                 opt[][i]=pos.dist(shop[f][i]);//给初始状态赋值
             for(int i=;i<=buy;++i)//以下为动归过程
             for(int j=;j<border;++j)
             {
                 opt[i][j]=maxlen;
                 for(int k=;k<border;++k)if(k!=j)//题目中已经规定k不能与j相同
                     opt[i][j]=min(opt[i-][k]+shop[f][j].dist(shop[f][k]),opt[i][j]);
             }
             for(int i=;i<border;++i)//动归完成后计算最优方案的值
                 best=min(best,opt[buy][i]+shop[f][i].dist(hole[f]));
         }
         else best=pos.dist(hole[f]);//不用买气球的话就直接走到下一层的洞口
         d+=best;//累加距离
         pos=hole[f];//起点位置变为下一层的洞口处
     }
     printf("%.2lf\n",d);
     return ;//提高AC率的隐藏语句
 }