Polya计数
Time Limit: 1000MS | Memory Limit: 65536K | |
Total Submissions: 5365 | Accepted: 3585 |
Description
A bracelet is a ring-like sequence of s beads each of which can have one of c distinct colors. The ring is closed, i.e. has no beginning or end, and has no direction. Assume an unlimited supply of beads of each color. For different values of s and c, calculate the number of different bracelets that can be made.
Input
Output
Sample Input
1 1
2 1
2 2
5 1
2 5
2 6
6 2
0 0
Sample Output
1
2
3
5
8
13
21
/*
poj 2409 Polya模板题 旋转:
L = sum(k^Ci)/n(i = 0,1.....n-1) 求出每次旋转i位的和
顺时针旋转i格的置换中,循环的个数为GCD(n,i),长度为n/GCD(n,i).
so Ci = GCD(n,i) 翻转:
当n为偶数时,n/2个的置换Ci = n/2; n/2个的置换Ci = n/2-1
当n为奇数时,n个置换Ci = n/2+1 hhh-2016-04-19 10:06:23
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <math.h>
using namespace std;
#define lson (i<<1)
#define rson ((i<<1)|1)
typedef long long ll;
const int maxn = 100040; ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
ll pow(ll a, ll b)
{
ll res = 1;
while(b)
{
if(b&1) res *= a;
a = a*a;
b >>= 1;
}
return res;
} ll polya(ll n,ll k)
{
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
ans += pow(k,gcd(n,i));
} if(n & 1)
ans += pow(k,n/2+1)*n;
else
{
ans += pow(k,n/2)*(n/2);
ans += pow(k,n/2+1)*(n/2);
}
return ans/(n*2);
} int main()
{
ll n,c;
while(scanf("%I64d%I64d",&c,&n) != EOF)
{
if(!n && !c)
break;
printf("%I64d\n",polya(n,c));
}
return 0;
}
Time Limit: 1000MS | Memory Limit: 10000K | |
Total Submissions: 7525 | Accepted: 3132 |
Description
Input
-1 denotes the end of the input file.
Output
Sample Input
4
5
-1
Sample Output
21
39
/*
poj 1286 polya(euler优化) 依旧是模板题,只是在上面加了优化
优化:(黑书)
以前都是直接枚举i来求解。 但是可以考虑通过枚举循环节的长度L,然后计算有多少个i
L = n/(GCD(n,i)) -> GCD(n,i) = n/L
不妨设 a = n/L = GCD(n,i) , 不妨设 i = a*t -> GCD(n,i) = GCD(a*L,a*t) = a
所以只有 GCD(L,t) = 1是才行。 0 ≤ i <n ---> 0 ≤ t < L(n/a)
即小于L且与L互质的个数,这个用欧拉函数解决 hhh-2016-04-19 11:14:49
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <math.h>
using namespace std;
#define lson (i<<1)
#define rson ((i<<1)|1)
typedef long long ll;
const int maxn = 100040; ll euler(ll n)
{
ll ans = n;
for(int i = 2;i*i <= n;i++)
{
if(n % i == 0)
{
ans -= ans/i;
while(n % i == 0)
{
n /= i;
}
}
}
if(n > 1) ans -= ans/n;
return ans;
} ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
ll Pow(ll a, ll b)
{
ll res = 1;
while(b)
{
if(b&1) res *= a;
a = a*a;
b >>= 1;
}
return res;
} ll polya(ll n,ll k)
{
ll ans = 0;
for(ll i = 1; i <= n; i++)
{
if(n % i == 0) //枚举循环节的长度
ans += Pow(k,i)*euler(n/i);
} if(n & 1)
ans += Pow(k,n/2+1)*n;
else
{
ans += Pow(k,n/2)*(n/2);
ans += Pow(k,n/2+1)*(n/2);
}
return ans/(n*2);
} int main()
{
ll n;
while(scanf("%I64d",&n) != EOF)
{
if(n == -1)
break;
if(n == 0)
printf("0\n");
else
printf("%I64d\n",polya(n,3));
}
return 0;
}
Invoker
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 122768/62768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1426 Accepted Submission(s): 610
In his new map, Kael can control n kind of elements and he can put m elements equal-spacedly on a magic ring and combine them to invoke a new skill. But if a arrangement can change into another by rotate the magic ring or reverse the ring along the axis, they will invoke the same skill. Now give you n and m how many different skill can Kael invoke? As the number maybe too large, just output the answer mod 1000000007.
For each test case: give you two positive integers n and m. ( 1 <= n, m <= 10000 )
3 4
1 2
/*
HDU 3923 Ploya定理+逆元 裸Polya计数,只是在后面求个逆元即可 hhh-2016-04-19 11:40:12
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <math.h>
using namespace std;
#define lson (i<<1)
#define rson ((i<<1)|1)
typedef long long ll;
const int maxn = 100040;
const int mod = 1000000007;
ll euler(ll n)
{
ll ans = n;
for(int i = 2;i*i <= n;i++)
{
if(n % i == 0)
{
ans -= ans/i;
while(n % i == 0)
{
n /= i;
}
}
}
if(n > 1) ans -= ans/n;
return ans%mod;
} ll Pow(ll a, ll b)
{
ll res = 1;
a %= mod;
while(b)
{
if(b&1) res =res*a%mod;
a = a*a%mod;
b >>= 1;
}
return res%mod;
} ll polya(ll n,ll k)
{
ll ans = 0;
for(ll i = 1; i <= n; i++)
{
if(n % i == 0) //枚举循环节的长度
ans =(ans+Pow(k,i)*euler(n/i)%mod)%mod;
} if(n & 1)
ans =(ans+Pow(k,n/2+1)*n%mod)%mod;
else
{
ans = (ans+Pow(k,n/2)*(n/2)%mod)%mod;
ans = (ans+Pow(k,n/2+1)*(n/2)%mod)%mod;
}
ll t = Pow(n*2,mod-2); //求逆元
return ans*t%mod;
} int main()
{
ll n,c;
int T,cas = 1;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%I64d%I64d",&c,&n);
printf("Case #%d: ",cas++);
printf("%I64d\n",polya(n,c));
}
return 0;
}
DIY Cube
Time Limit: 2000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 637 Accepted Submission(s): 313
For each test case, there are only one integer C, denoting the number of colors. (1 <= C <= 1000000000)
1
2
112
Case 2: 23
Case 3: 031651434916928
//hdu 3547 用C种颜色对正方形的八个顶点染色
//如果用1234表示顶面 5678表示底面
//1.绕着相互对立的两个面旋转,有90度,180度,270度,所以总共有3*3=9种情况。
// 绕90 or 270. {1 2 3 4} {5,6,7,8} 2个循环节 总共有6中情况
// 绕180 {1,3}{2,4}{5,7}{6,8} 4个循环节 共有3种情况
//2.绕着相互对立的两个边旋转,有180度这样,所以总共有6*1=6种。
// {1,7}{2,8}{3,4}{5,6} 4个循环节
//3.绕着对角点旋转,有120度,240度这样,所以总共有4*2=8种。
// {2,5,7}{1,3,8}{6}{4} 4个循环节
//4.不动,有一种。 {1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 8个循环节
//假设有C中颜色 则共有C^8 + 17*C^4 + 6*C^2
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) {
// TODO 自动生成的方法存根
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int T = cin.nextInt();
int cas = 1;
while(T>0){
BigInteger c = cin.nextBigInteger(); BigInteger t1 = c.pow(8);
BigInteger t2 = c.pow(4);
BigInteger t3 = c.pow(2);
// System.out.println("t1:"+t1);
// System.out.println("t2:"+t2);
// System.out.println("t3:"+t3);
t2 = t2.multiply(BigInteger.valueOf(17));
t3 = t3.multiply(BigInteger.valueOf(6)); BigInteger ans = t1.add(t2).add(t3);
String tans = ans.divide(BigInteger.valueOf(24)).toString();
int len = tans.length();
System.out.print("Case " + cas+": ");
if(len <= 15)
System.out.println(tans);
else
System.out.println(tans.substring(len-15));
cas++;
T--;
}
}
}
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