Codeforces 1132E(大数据多重背包)

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题意

给定背包容量$w$，体积分别为$1$到$8$的物体的数量求不超过背包容量的最大体积

思路

考虑将答案转化成$840 * x + y$的形式其中$840 = lcm(1-8), y < 840 * 8$，想法是对于选定的方案所有种类的物品都可以被表示成$840 * t_i + k_i$的形式，那么我们只用考虑每种物品凑不够$840$的那些物品的选取情况，如果能够知道这些选取情况下对应的能取到的最大的$840$份数就能得到答案。所以$dp[i][j]$表示已经考虑完前$i - 1$种物品后取出$j$重量的物品时能获得$840$的最大份数，答案显然为$max(840 * dp[9][i] + i)$当然这是有可能超过背包容量$w$的，所以还要和$w$作比较。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define DBG(x) cerr << #x << " = " << x << endl

using namespace std;
typedef long long LL;

LL w, cnt[10], dp[10][840 * 8 + 5];

int main() {
    scanf("%lld", &w);
    for(int i = 1; i <= 8; i++) scanf("%lld", &cnt[i]);
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    dp[1][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= 8; i++) {
        for(int j = 0; j <= 840 * 8; j++) {
            if(dp[i][j] == -1) continue;
            LL t = min(cnt[i], 840LL / i);
            for(int k = 0; k <= t; k++) {
                dp[i + 1][j + k * i] = max(dp[i + 1][j + k * i], dp[i][j] + (cnt[i] - k) / (840 / i));
            }
        }
    }
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i <= 840 * 8; i++) {
        if(i > w || dp[9][i] == -1) continue;
        ans = max(ans, i + min(dp[9][i], (w - i) / 840) * 840);
    }
    cout << ans;
}